Упр.243 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; в) хотя бы на 1 доске; б) ровно на 5 досках; г) по крайней мере на 2 досках.

Пусть вероятность того, что на одной доске Остап Бендер будет играть белыми, равна $$p=\frac12,$$ тогда вероятность играть чёрными тоже равна $$q=\frac12.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

Здесь $$n=12.$$

1. Ровно на 3 досках:

   $$P_{12}(3)=C_{12}^3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^9=C_{12}^3\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(3)=\frac{12!}{3!\,9!}\cdot\frac{1}{4096}=220\cdot\frac{1}{4096}=\frac{55}{1024}\approx 0{,}054.$$

2. Ровно на 5 досках:

   $$P_{12}(5)=C_{12}^5\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^7=C_{12}^5\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(5)=\frac{12!}{5!\,7!}\cdot\frac{1}{4096}=792\cdot\frac{1}{4096}=\frac{99}{512}\approx 0{,}193.$$

3. Хотя бы на 1 доске:

   Удобнее найти вероятность противоположного события — ни на одной доске не играть белыми:

   $$P(\text{хотя бы 1})=1-P_{12}(0)=1-\left(\frac12\right)^{12}=1-\frac{1}{4096}=\frac{4095}{4096}\approx 0{,}9998.$$

4. По крайней мере на 2 досках:

   $$P(\ge 2)=1-P_{12}(0)-P_{12}(1).$$

   $$P_{12}(1)=C_{12}^1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^{11}=12\cdot\left(\frac12\right)^{12}=\frac{12}{4096}=\frac{3}{1024}.$$

   Тогда

   $$P(\ge 2)=1-\frac{1}{4096}-\frac{12}{4096}=\frac{4083}{4096}\approx 0{,}997.$$

Ответ: а) $$\approx 0{,}054$$; б) $$\approx 0{,}193$$; в) $$\approx 0{,}9998$$; г) $$\approx 0{,}997$$.