Упр.242 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $$p=0{,}4$$. Найдите вероятность того, что в серии из $$4$$ таких испытаний: а) наступит более $$2$$ успехов; в) не все испытания окончатся неудачей; б) наступит не более $$2$$ неудач; г) наступит менее $$4$$ успехов.

Пусть $$p=0{,}4$$ — вероятность успеха, тогда $$q=1-p=0{,}6$$ — вероятность неудачи.

1. Более 2 успехов в 4 испытаниях — это 3 или 4 успеха:

   $$P=C_4^3p^3q+C_4^4p^4q^0$$

   $$P=4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6+0{,}4^4=4\cdot 0{,}064\cdot 0{,}6+0{,}0256=0{,}1792.$$

2. Не более 2 неудач — это 2, 1 или 0 неудач, то есть 2, 3 или 4 успеха:

   $$P=C_4^2p^2q^2+C_4^3p^3q+C_4^4p^4$$

   $$P=6\cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6^2+4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6+0{,}4^4$$

   $$P=6\cdot 0{,}16\cdot 0{,}36+4\cdot 0{,}064\cdot 0{,}6+0{,}0256=0{,}5248.$$

3. Не все испытания окончатся неудачей — это противоположное событие к тому, что все 4 испытания будут неудачными:

   $$P=1-q^4=1-0{,}6^4=1-0{,}1296=0{,}8704.$$

4. Менее 4 успехов — это 0, 1, 2 или 3 успеха:

   $$P=C_4^0q^4+C_4^1pq^3+C_4^2p^2q^2+C_4^3p^3q$$

   $$P=0{,}6^4+4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6^3+6\cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6^2+4\cdot 0{,}4^3\cdot 0{,}6$$

   $$P=0{,}1296+0{,}3456+0{,}3456+0{,}1536=0{,}9744.$$

Ответ: а) $$0{,}1792$$; б) $$0{,}5248$$; в) $$0{,}8704$$; г) $$0{,}9744$$.