Упр.241 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний:
а) наступит ровно 2 успеха; в) наступит более 2 успехов;
б) наступит ровно 1 успех; г) наступит менее 4 успехов.

Если неудача наступает с вероятностью $$q=\frac13,$$ то вероятность успеха равна

$$p=1-q=1-\frac13=\frac23.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

а) Ровно 2 успеха:

$$P_5(2)=C_5^2\left(\frac23\right)^2\left(\frac13\right)^3$$

$$=10\cdot \frac49 \cdot \frac1{27}=\frac{40}{243}\approx 0{,}165.$$

б) Ровно 1 успех:

$$P_5(1)=C_5^1\left(\frac23\right)^1\left(\frac13\right)^4$$

$$=5\cdot \frac23 \cdot \frac1{81}=\frac{10}{243}\approx 0{,}041.$$

в) Более 2 успехов, то есть 3, 4 или 5 успехов:

$$P_5(3)+P_5(4)+P_5(5)$$

$$=C_5^3\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2+C_5^4\left(\frac23\right)^4\left(\frac13\right)^1+C_5^5\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^0$$

$$=10\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac19+5\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac13+1\cdot \frac{32}{243}$$

$$=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243}=\frac{192}{243}\approx 0{,}790.$$

г) Менее 4 успехов, то есть 0, 1, 2 или 3 успеха:

$$P_5(0)+P_5(1)+P_5(2)+P_5(3)$$

$$=\frac{10}{243}+\frac{40}{243}+\frac{80}{243}=\frac{130}{243}\approx 0{,}535.$$

Ответ

а) $$\frac{40}{243}\approx 0{,}165$$; б) $$\frac{10}{243}\approx 0{,}041$$; в) $$\frac{192}{243}\approx 0{,}790$$; г) $$\frac{130}{243}\approx 0{,}535$$.