Упр.241 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)
В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $$q=\frac{1}{3}$$. Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; в) наступит более 2 успехов; б) наступит ровно 1 успех; г) наступит менее 4 успехов.
Так как вероятность неудачи $$q=\frac{1}{3},$$ то вероятность успеха
$$p=1-q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$
Используем формулу Бернулли:
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$
Ровно 2 успеха:
$$P_5(2)=C_5^2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^3$$
$$=10\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{27}=\frac{40}{243}\approx 0{,}165.$$
Ровно 1 успех:
$$P_5(1)=C_5^1\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^4$$
$$=5\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{81}=\frac{10}{243}\approx 0{,}041.$$
Более 2 успехов:
$$P_5(3)+P_5(4)+P_5(5)$$
$$=C_5^3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2+C_5^4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)+C_5^5\left(\frac{2}{3}\right)^5$$
$$=10\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac{1}{9}+5\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac{1}{3}+\frac{32}{243}$$
$$=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243}=\frac{192}{243}\approx 0{,}790.$$
Менее 4 успехов:
$$P_5(0)+P_5(1)+P_5(2)$$
$$=C_5^0\left(\frac{2}{3}\right)^0\left(\frac{1}{3}\right)^5+C_5^1\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^4+C_5^2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^3$$
$$=\frac{1}{243}+\frac{10}{243}+\frac{40}{243}=\frac{51}{243}=\frac{17}{81}\approx 0{,}210.$$
Ответ: а) $$\frac{40}{243}\approx 0{,}165$$; б) $$\frac{10}{243}\approx 0{,}041$$; в) $$\frac{192}{243}\approx 0{,}790$$; г) $$\frac{17}{81}\approx 0{,}210$$.
