Упр.216 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)
- Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна $$p$$, а вероятность неудачи равна $$q=1-p$$. Найдите вероятность события (выразите её через $$p$$ и $$q$$), заключающегося в том, что:
а) «успех случится при втором испытании»;
б) «успех случится позже четвёртого испытания»;
в) «успех случится не позже шестого испытания»;
г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».
При последовательных независимых испытаниях событие «успех случится при $$n$$-м испытании» означает, что первые $$n-1$$ испытаний дали неудачу, а $$n$$-е — успех.
Успех случится при втором испытании:
первое испытание — неудача, второе — успех, значит
$$P=qp.$$
Успех случится позже четвёртого испытания:
это значит, что в первых четырёх испытаниях успеха не было, поэтому
$$P=q^4.$$
Успех случится не позже шестого испытания:
это дополнение к событию «в первых шести испытаниях успеха не будет», значит
$$P=1-q^6.$$
Для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний:
это означает, что успех наступит на 3-м, 4-м или 5-м испытании:
$$P=q^2p+q^3p+q^4p=q^2p(1+q+q^2).$$
Так как $$p=1-q,$$ то
$$P=q^2-q^5=q^2(1-q^3).$$
Ответ: а) $$qp$$; б) $$q^4$$; в) $$1-q^6$$; г) $$q^2-q^5=q^2(1-q^3).$$
