Упр.200 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В окружность вписан равносторонний треугольник $$ABC$$. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — $$D$$ и $$E$$. Найдите вероятность того, что отрезок $$DE$$:
   а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;
   б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Пусть точки $$D$$ и $$E$$ выбираются независимо и равновероятно на окружности.

Рассмотрим дуги, на которые вершины равностороннего треугольника делят окружность. Каждая дуга между соседними вершинами равна $$120^\circ$$.

а)

Отрезок $$DE$$ не пересекает ни одну из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точки $$D$$ и $$E$$ лежат на одной дуге длиной $$120^\circ$$.

Тогда вероятность равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности:

$$P=\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac13.$$

б)

Отрезок $$DE$$ пересекает ровно две стороны треугольника тогда и только тогда, когда точки $$D$$ и $$E$$ лежат на дуге длиной $$240^\circ$$.

Следовательно,

$$P=\frac{240^\circ}{360^\circ}=\frac23.$$

Ответ: а) $$\frac13$$; б) $$\frac23$$.