Упр.199 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбирают случайную точку X. Найдите вероятность того, что угол $$\angle АОХ$$: а) меньше $$90^\circ$$; б) больше $$120^\circ$$; в) находится в пределах от $$30^\circ$$ до $$60^\circ$$.

Так как точка $$X$$ выбирается равновероятно на окружности, то вероятность события равна отношению длины соответствующей дуги к длине всей окружности.

а) Угол $$AOX<90^\circ$$ означает, что точка $$X$$ должна лежать на дуге, соответствующей центральному углу $$180^\circ$$.

Тогда

$$P=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12.$$

б) Событие $$AOX>120^\circ$$ является дополнением к событию $$AOX\le 120^\circ$$. Угол $$AOX\le 120^\circ$$ соответствует дуге в $$240^\circ$$, значит

$$P(AOX\le 120^\circ)=\frac{240^\circ}{360^\circ}=\frac23.$$

Тогда

$$P(AOX>120^\circ)=1-\frac23=\frac13.$$

в) Условие $$30^\circ\le AOX\le 60^\circ$$ означает, что точка $$X$$ должна попасть в дугу между углами $$30^\circ$$ и $$60^\circ$$ с обеих сторон от точки $$A$$. Длина этой дуги равна

$$2\cdot(60^\circ-30^\circ)=60^\circ.$$

Следовательно,

$$P=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac16$$.