Упр.191 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

В квадрате $$ABCD$$ случайным образом выбирается точка $$X$$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции $$AMCD$$, где точка $$M$$:

а) середина стороны $$BC$$;

б) делит отрезок $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$;

в) делит отрезок $$BC$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$B$$.

Подробный ответ

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Вероятность равна отношению площади трапеции $$AMCD$$ к площади квадрата $$ABCD$$.

Если $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то квадрат делится на четыре равных треугольника. Тогда
$$S_{AMCD}=3Q,\qquad S_{ABCD}=4Q,$$
следовательно,
$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{3Q}{4Q}=\frac34=0{,}75.$$
Если $$M$$ делит $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$, то
$$BM=\frac13a,\qquad MC=\frac23a.$$
Площадь трапеции состоит из прямоугольника и треугольника:
$$S_{AMCD}=\frac13a\cdot a+\frac12\cdot \frac23a\cdot a=\frac13a^2+\frac13a^2=\frac23a^2.$$
Тогда
$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac23a^2}{a^2}=\frac23.$$
Если $$M$$ делит $$BC$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$B$$, то
$$BM=m,\qquad MC=n,\qquad BC=m+n.$$
Тогда сторона квадрата равна $$m+n$$, а его площадь:
$$S_{ABCD}=(m+n)^2.$$
Площадь трапеции:
$$S_{AMCD}=n(m+n)+\frac12 m(m+n).$$
Следовательно,
$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{n(m+n)+\frac12 m(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{n+\frac12 m}{m+n}=\frac{2n+m}{2m+2n}.$$