Упр.190 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

а) середина стороны CD;
б) делит отрезок CD в отношении 1 : 2, считая от точки С;
в) делит отрезок CD в отношении m : n, считая от точки С.

Вероятность равна отношению площади треугольника $ADM$ к площади квадрата $ABCD$:

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}.$$

1. Если $M$ — середина стороны $CD$, то $DM=\frac{1}{2}CD$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда

   $$S_{ABCD}=a^2,$$

   а высота треугольника $ADM$, опущенная на основание $AD$, равна $\frac{a}{2}$, поэтому

   $$S_{ADM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/4}{a^2}=\frac14.$$

2. Если точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$, то

   $$CM:MD=1:2,$$

   значит,

   $$MD=\frac{2}{3}CD.$$

   Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $CD=a$, а высота треугольника $ADM$ равна $\frac{2a}{3}$. Получаем:

   $$S_{ADM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2a}{3}=\frac{a^2}{3}.$$

   Тогда

   $$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/3}{a^2}=\frac13.$$

3. Если точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении $m:n$, считая от точки $C$, то

   $$CM:MD=m:n,$$

   следовательно,

   $$MD=\frac{n}{m+n}\,CD.$$

   Пусть сторона квадрата равна $m+n$. Тогда

   $$S_{ABCD}=(m+n)^2,$$

   а высота треугольника $ADM$ равна $n$, поэтому

   $$S_{ADM}=\frac{1}{2}(m+n)\cdot n.$$

   Тогда

   $$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac12(m+n)n}{(m+n)^2}=\frac{n}{2(m+n)}.$$

Ответ

а) $$\frac14$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac{n}{2(m+n)}$$.