Упр.190 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

В квадрате $$ABCD$$ случайным образом выбирается точка $$X$$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику $$ADM$$, где точка $$M$$:

а) середина стороны $$CD$$;

б) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$;

в) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$C$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда вероятность попадания случайной точки в треугольник равна отношению площадей:

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}.$$

а)

Точка $$M$$ — середина стороны $$CD$$, значит $$DM=\frac{a}{2}$$. Тогда

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot AD \cdot DM=\frac12 \cdot a \cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/4}{a^2}=\frac14=0{,}25.$$

б)

Если $$M$$ делит $$CD$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$, то

$$CM:MD=1:2,$$

откуда

$$MD=\frac{2}{3}a.$$

Тогда

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot a \cdot \frac{2}{3}a=\frac{a^2}{3}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/3}{a^2}=\frac13.$$

в)

Пусть $$CM:MD=m:n$$, считая от точки $$C$$. Тогда

$$CD=m+n,$$

а значит

$$MD=\frac{n}{m+n}\cdot CD.$$

Обозначим сторону квадрата через $$m+n$$. Тогда $$AD=m+n$$, $$MD=n$$, и

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot (m+n)\cdot n.$$

Площадь квадрата:

$$S_{ABCD}=(m+n)^2.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac12 (m+n)n}{(m+n)^2}=\frac{n}{2(m+n)}.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac{n}{2(m+n)}$$.