Упр.157 Часть 1 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Площадь прямоугольника равна $$36$$. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями?

• а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число».
• б) «Этот прямоугольник является квадратом».
• в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем $$72$$».
• г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем $$75$$».

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, тогда $$ab=36$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Разложим число $$36$$ на пары натуральных множителей:

$$36=1\cdot 36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6.$$

Во всех парах хотя бы один множитель чётный, значит утверждение а) истинно.

Утверждение б) ложно, так как прямоугольник с площадью $$36$$ не обязательно является квадратом: это верно только при $$a=b=6$$.

Периметр прямоугольника равен $$P=2(a+b)$$. При фиксированном произведении $$ab=36$$ наибольший периметр получается у пары $$1$$ и $$36$$:

$$P=2(1+36)=74.$$

Значит, утверждение в) ложно, потому что периметр не может быть больше $$72$$, но может быть равен $$74$$.

Следовательно, утверждение г) истинно, так как для всех возможных пар натуральных множителей числа $$36$$ периметр меньше $$75$$.

Ответ: а) и г).