Упр.996 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 996. Бассейн начали наполнять водой с помощью насоса. После того, как треть бассейна была заполнена, насос проработал ещё минуту и сломался. Оставшуюся часть бассейна заполнил за 10 мин второй насос, имеющий меньшую мощность. Известно, что первая треть бассейна заполнилась на 10 мин быстрее, чем вторая, а вторая — на 10 мин быстрее, чем третья. За сколько минут заполнилась первая треть бассейна?

Подробный ответ

Пусть первая треть бассейна заполнилась за $$x$$ мин, а производительности первого и второго насосов равны соответственно $$a$$ и $$b$$ частей бассейна в минуту.

Тогда первая треть заполнена первым насосом за $$x$$ мин, вторая — за $$x+10$$ мин, а третья — за $$x+20$$ мин.

По условию первый насос работал до поломки ещё 1 минуту после заполнения первой трети, значит он заполнил вторую треть за $$x+9$$ мин. Оставшуюся часть бассейна заполнил второй насос за 10 мин.

Составим систему:

$$ \begin{cases} ax=a+b(x+9),\\ a+b(x+9)=b(x+20). \end{cases} $$

Упростим:

$$ \begin{cases} ax-a-bx-9b=0,\\ a-bx-11b=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$a=b(x+11).$$

Подставим в первое:

$$ x\cdot b(x+11)=b(x+11)+b(x+9). $$

Так как $$b\neq 0$$, разделим на $$b$$:

$$ x(x+11)=x+11+x+9. $$

$$ x^2+11x=2x+20 $$

$$ x^2+9x-20=0 $$