Упр.989 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

Даны три металлических сплава. Один фунт первого сплава содержит 12 унций серебра, 1 унцию меди и 3 унции олова. Фунт второго сплава содержит 1 унцию серебра, 12 унций меди и 3 унции олова. Фунт третьего сплава содержит 14 унций меди, 2 унции олова и вовсе не содержит серебра. Как из этих трёх сплавов нужно составить новый, фунт которого содержал бы 4 унции серебра, 9 унций меди и 3 унции олова?

Пусть нужно взять $$x$$ частей первого сплава, $$y$$ частей второго и $$z$$ частей третьего.

Тогда по содержанию серебра, меди и олова получаем систему:

$$\begin{cases} 12x+y=4,\\ x+12y+14z=9,\\ 3x+3y+2z=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=4-12x.$$

Из третьего уравнения умножим обе части на $$4$$:

$$12x+12y+8z=12.$$

Вычтем из этого уравнения второе:

$$(12x+12y+8z)-(x+12y+14z)=12-9,$$
$$11x-6z=3,$$
$$6z=11x-3,$$
$$z=\frac{11x-3}{6}.$$

Подставим $$y=4-12x$$ и $$z=\frac{11x-3}{6}$$ во второе уравнение:

$$x+12(4-12x)+14\cdot \frac{11x-3}{6}=9.$$

Умножим на $$6$$:

$$6x+72(4-12x)+14(11x-3)=54,$$
$$6x+288-864x+154x-42=54,$$
$$-704x+246=54,$$
$$-704x=-192,$$
$$x=\frac{3}{11}.$$

Тогда

$$y=4-12\cdot \frac{3}{11}=4-\frac{36}{11}=\frac{8}{11},$$
$$z=\frac{11\cdot \frac{3}{11}-3}{6}=0.$$

Значит, новый сплав нужно составить из $$\frac{3}{11}$$ части первого сплава, $$\frac{8}{11}$$ части второго сплава и без третьего сплава.

Ответ

$$\frac{3}{11}$$ части первого сплава, $$\frac{8}{11}$$ части второго сплава, $$0$$ частей третьего сплава.