Упр.989 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 989. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Даны три металлических сплава. Один фунт первого сплава содержит 12 унций2 серебра, 1 унцию меди и 3 унции олова. Фунт второго сплава содержит 1 унцию серебра, 12 унций меди и 3 унции олова. Фунт третьего сплава содержит 14 унций меди, 2 унции олова и вовсе не содержит серебра. Как из этих трёх сплавов нужно составить новый, фунт которого содержал бы 4 унции серебра, 9 унций меди и 3 унции олова?

Пусть нужно взять $$x$$ частей первого сплава, $$y$$ частей второго и $$z$$ частей третьего.

Тогда по содержанию серебра, меди и олова получаем систему:

$$ \begin{cases} 12x+y=4,\\ x+12y+14z=9,\\ 3x+3y+2z=3. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$ y=4-12x. $$

Из третьего уравнения умножим обе части на $$4$$:

$$ 12x+12y+8z=12. $$

Вычтем из этого уравнения второе:

$$ (12x+12y+8z)-(x+12y+14z)=12-9, $$
$$ 11x-6z=3, $$
$$ 6z=11x-3, $$
$$ z=\frac{11x-3}{6}. $$

Подставим $$y=4-12x$$ и $$z=\frac{11x-3}{6}$$ во второе уравнение:

$$ x+12(4-12x)+14\cdot \frac{11x-3}{6}=9. $$

Умножим на $$6$$:

$$ 6x+72(4-12x)+14(11x-3)=54, $$
$$ 6x+288-864x+154x-42=54, $$
$$ -704x+246=54, $$
$$ -704x=-192, $$
$$ x=\frac{3}{11}. $$

Тогда

$$ y=4-12\cdot \frac{3}{11}=4-\frac{36}{11}=\frac{8}{11}, $$
$$ z=\frac{11\cdot \frac{3}{11}-3}{6}=0. $$

Значит, новый сплав нужно составить из $$\frac{3}{11}$$ части первого сплава, $$\frac{8}{11}$$ части второго сплава и без третьего сплава.

Ответ

$$\frac{3}{11}$$ части первого сплава, $$\frac{8}{11}$$ части второго сплава, $$0$$ частей третьего сплава.