Упр.988 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 988. Задача Адама Ризе. Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается: сколько денег было у каждого?

Подробный ответ

Пусть у первого было $$x$$ денег, у второго — $$y$$ денег, у третьего — $$z$$ денег.

По условию составим систему:

$$ \begin{cases} x+\frac12 y+\frac12 z=12,\\ y+\frac13 x+\frac13 z=12,\\ z+\frac14 x+\frac14 y=12. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$, третье — на $$4$$:

$$ \begin{cases} 2x+y+z=24,\\ x+3y+z=36,\\ x+y+4z=48. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2x+y+z)-(x+3y+z)=24-36 $$
$$ x-2y=-12, $$
$$ x=2y-12. $$

Вычтем из второго уравнения третье:

$$ (x+3y+z)-(x+y+4z)=36-48 $$
$$ 2y-3z=-12, $$
$$ 3z=2y+12, $$
$$ z=\frac23 y+4. $$

Подставим выражения для $$x$$ и $$z$$ в первое уравнение:

$$ 2x+y+z=24 $$
$$ 2(2y-12)+y+\left(\frac23 y+4\right)=24 $$
$$ 4y-24+y+\frac23 y+4=24 $$
$$ 5\frac23 y=44 $$
$$ \frac{17}{3}y=44 $$
$$ y=44\cdot\frac{3}{17}=\frac{132}{17}=7\frac{13}{17}. $$

Теперь найдём $$x$$:

$$ x=2y-12=2\cdot\frac{132}{17}-12=\frac{264}{17}-\frac{204}{17}=\frac{60}{17}=3\frac{9}{17}. $$

Найдём $$z$$:

$$ z=\frac23 y+4=\frac23\cdot\frac{132}{17}+4=\frac{88}{17}+4=\frac{156}{17}=9\frac{3}{17}. $$