Упр.987 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 987. Три друга хотели купить книгу за 17 р., но ни у кого не набралось нужной суммы. Первый говорит друзьям: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю книгу». Второй говорит: «Дайте мне по трети своих денег, и я куплю книгу». Третий говорит: «Дайте мне по четверти своих денег, и я куплю книгу». Сколько денег было у каждого?

Пусть у первого друга было $$x$$ руб., у второго — $$y$$ руб., у третьего — $$z$$ руб.

По условию получаем систему:

$$ \begin{cases} x+\frac12y+\frac12z=17,\\ y+\frac13x+\frac13z=17,\\ z+\frac14x+\frac14y=17. \end{cases} $$

Умножим уравнения на соответствующие числа:

$$ \begin{cases} 2x+y+z=34,\\ x+3y+z=51,\\ x+y+4z=68. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2x+y+z)-(x+3y+z)=34-51 $$
$$ x-2y=-17, $$
$$ x=2y-17. $$

Вычтем из второго уравнения третье:

$$ (x+3y+z)-(x+y+4z)=51-68 $$
$$ 2y-3z=-17, $$
$$ 2y=3z-17, $$
$$ y=\frac{3z-17}{2}. $$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$ (2x+y+z)-(x+y+4z)=34-68 $$
$$ x-3z=-34, $$
$$ x=3z-34. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2x+y+z=34 $$
$$ 2(3z-34)+\frac{3z-17}{2}+z=34. $$

Умножим на $$2$$:

$$ 4(3z-34)+3z-17+2z=68 $$
$$ 12z-136+3z-17+2z=68 $$
$$ 17z-153=68 $$
$$ 17z=221 $$
$$ z=13. $$

Тогда

$$ x=3\cdot 13-34=5, $$
$$ y=\frac{3\cdot 13-17}{2}=\frac{22}{2}=11. $$

Ответ

У первого было $$5$$ руб., у второго $$11$$ руб., у третьего $$13$$ руб.