Упр.986 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

у меня 150 р. Второй говорит третьему: если бы я взял твоих денег 3/5, а от первого 5/7, то я тоже имел бы 150 р. Третий говорит первому: если бы я взял от твоих денег 5/7, а от второго 2/4, то тоже имел бы 150 р. Спрашивается, сколько каждый из них в то время имел денег.

Пусть первый имел $$x$$ руб., второй — $$y$$ руб., третий — $$z$$ руб.

По условию составим систему:

$$ \begin{cases} x+\frac{2}{4}y+\frac{3}{5}z=150,\\ y+\frac{3}{5}z+\frac{5}{7}x=150,\\ z+\frac{5}{7}x+\frac{2}{4}y=150. \end{cases} $$

Умножим уравнения на $$20$$, $$35$$ и $$28$$ соответственно:

$$ \begin{cases} 20x+10y+12z=3000,\\ 35y+21z+25x=5250,\\ 28z+20x+14y=4200. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$ 20x+10y+12z-(28z+20x+14y)=3000-4200, $$
$$ -4y-16z=-1200, $$
$$ y+4z=300. $$

Теперь умножим первое уравнение на $$2$$, второе на $$4$$, третье на $$5$$:

$$ \begin{cases} 40x+20y+24z=6000,\\ 100x+140y+84z=21000,\\ 100x+70y+140z=21000. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения третье:

$$ (100x+140y+84z)-(100x+70y+140z)=21000-21000, $$
$$ 70y-56z=0, $$
$$ 35y=28z, $$
$$ z=\frac{5}{4}y. $$

Подставим это в уравнение $$y+4z=300$$:

$$ y+4\cdot \frac{5}{4}y=300, $$
$$ y+5y=300, $$
$$ 6y=300, $$
$$ y=50. $$

Тогда

$$ z=\frac{5}{4}\cdot 50=62{,}5. $$

Найдём $$x$$ из уравнения $$10x+5y+6z=1500$$:

$$ 10x+5\cdot 50+6\cdot 62{,}5=1500, $$
$$ 10x+250+375=1500, $$
$$ 10x=875, $$
$$ x=87{,}5. $$

Ответ

Первый — $$87{,}5$$ руб., второй — $$50$$ руб., третий — $$62{,}5$$ руб.