Упр.986 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека разговаривали между собой. Первый из них говорит второму: если бы мне взять от твоих денег $$\frac{2}{4}$$, а от третьего $$\frac{3}{5}$$, тогда было бы у меня 150 р. Второй говорит третьему: если бы я взял твоих денег $$\frac{3}{5}$$, а от первого $$\frac{5}{7}$$, то я тоже имел бы 150 р. Третий говорит первому: если бы я взял от твоих денег $$\frac{5}{7}$$, а от второго $$\frac{2}{4}$$, то тоже имел бы 150 р. Спрашивается, сколько каждый из них в то время имел денег.
Пусть первый имел $$x$$ руб., второй — $$y$$ руб., третий — $$z$$ руб.
По условию составим систему:
$$\begin{cases} x+\frac{2}{4}y+\frac{3}{5}z=150,\\ y+\frac{3}{5}z+\frac{5}{7}x=150,\\ z+\frac{5}{7}x+\frac{2}{4}y=150. \end{cases}$$
Умножим уравнения на $$20$$, $$35$$ и $$28$$ соответственно:
$$\begin{cases} 20x+10y+12z=3000,\\ 35y+21z+25x=5250,\\ 28z+20x+14y=4200. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения третье:
$$20x+10y+12z-(28z+20x+14y)=3000-4200,$$
$$-4y-16z=-1200,$$
$$y+4z=300.$$
Теперь умножим первое уравнение на $$2$$, второе на $$4$$, третье на $$5$$:
$$\begin{cases} 40x+20y+24z=6000,\\ 100x+140y+84z=21000,\\ 100x+70y+140z=21000. \end{cases}$$
Вычтем из второго уравнения третье:
$$(100x+140y+84z)-(100x+70y+140z)=21000-21000,$$
$$70y-56z=0,$$
$$35y=28z,$$
$$z=\frac{5}{4}y.$$
Подставим это в уравнение $$y+4z=300$$:
$$y+4\cdot \frac{5}{4}y=300,$$
$$y+5y=300,$$
$$6y=300,$$
$$y=50.$$
Тогда
$$z=\frac{5}{4}\cdot 50=62{,}5.$$
Найдём $$x$$ из уравнения $$10x+5y+6z=1500$$:
$$10x+5\cdot 50+6\cdot 62{,}5=1500,$$
$$10x+250+375=1500,$$
$$10x=875,$$
$$x=87{,}5.$$
Ответ
Первый — $$87{,}5$$ руб., второй — $$50$$ руб., третий — $$62{,}5$$ руб.
