Упр.985 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 985. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека хотят двор купить. Первый покупатель говорит второму: дашь мне 3/4 денег, что имеешь, и я один заплачу цену за двор. Второй говорит третьему: дашь мне 2/5 из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. Третий говорит первому: дашь мне 1/3 из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. А двору цена 100 р. Сколько каждый из покупателей имел денег?

Пусть первый покупатель имел $$x$$ руб., второй — $$y$$ руб., третий — $$z$$ руб.

По условию составим систему:

$$ \begin{cases} x+\frac{3}{4}y=100,\\ y+\frac{2}{5}z=100,\\ z+\frac{1}{3}x=100. \end{cases} $$

Умножим уравнения на соответствующие числа, чтобы избавиться от дробей:

$$ \begin{cases} 4x+3y=400,\\ 5y+2z=500,\\ 3z+x=300. \end{cases} $$

Из второго и третьего уравнений выразим $$y$$ и $$x$$:

$$ y=100-\frac{2}{5}z,\qquad x=300-3z. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 4(300-3z)+3\left(100-\frac{2}{5}z\right)=400. $$

$$ 1200-12z+300-\frac{6}{5}z=400 $$

$$ 1500-\frac{66}{5}z=400 $$

$$ \frac{66}{5}z=1100,\qquad z=1100\cdot\frac{5}{66}=\frac{250}{3}=83\frac{1}{3}. $$

Тогда

$$ y=100-\frac{2}{5}\cdot\frac{250}{3}=100-\frac{100}{3}=\frac{200}{3}=66\frac{2}{3}, $$

$$ x=300-3\cdot\frac{250}{3}=300-250=50. $$

Ответ

Первый имел $$50$$ руб., второй — $$66\frac{2}{3}$$ руб., третий — $$83\frac{1}{3}$$ руб.