Упр.979 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 979. Проценты содержания (по массе) кислоты в трёх растворах таковы, что квадрат процента второго равен произведению процентов первого и третьего. Если смешать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4 (по массе), то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Если же смешать их в отношении 3:2:1 (по массе), то получится раствор, содержащий 22 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержит каждый раствор?

Пусть первый раствор содержит $$x\%$$ кислоты, второй — $$y\%$$, третий — $$z\%$$.

По условию:

$$ y^2=xz $$

При смешивании в отношении $$2:3:4$$ получаем раствор с содержанием $$32\%$$ кислоты:

$$ 2x+3y+4z=32\cdot(2+3+4)=288 $$

При смешивании в отношении $$3:2:1$$ получаем раствор с содержанием $$22\%$$ кислоты:

$$ 3x+2y+z=22\cdot(3+2+1)=132 $$

Умножим второе уравнение на $$4$$:

$$ 12x+8y+4z=528 $$

Вычтем из него первое уравнение:

$$ (12x+8y+4z)-(2x+3y+4z)=528-288 $$

$$ 10x+5y=240 $$

$$ 2x+y=48,\qquad y=48-2x $$

Умножим первое уравнение на $$2$$, а второе — на $$3$$:

$$ 4x+6y+8z=576 $$

$$ 9x+6y+3z=396 $$

Вычтем второе из первого:

$$ -5x+5z=180 $$

$$ z-x=36,\qquad z=x+36 $$

Подставим в условие $$y^2=xz$$:

$$ (48-2x)^2=x(x+36) $$

$$ 2304-192x+4x^2=x^2+36x $$

$$ 3x^2-228x+2304=0 $$

$$ x^2-76x+768=0 $$

$$ D=76^2-4\cdot768=5776-3072=2704,\qquad \sqrt{D}=52 $$

$$ x=\frac{76\pm52}{2} $$

$$ x_1=12,\qquad x_2=64 $$

Если $$x=12$$, то

$$ y=48-2\cdot12=24,\qquad z=12+36=48 $$

Если $$x=64$$, то

$$ y=48-2\cdot64=-80 $$

Это не подходит, так как процент кислоты не может быть отрицательным.

Ответ

$$12\%,\ 24\%,\ 48\%$$