Упр.972 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Бак, вмещающий $$10\,000$$ л, заполняется бензином двумя насосами, второй из которых вливает в минуту на $$10$$ л меньше, чем первый. За $$5$$ мин бак заполняется на $$25\%$$. Сколько литров бензина вливает каждый насос за $$10$$ мин?
- б) Двумя кранами бассейн наполняется за $$1$$ ч $$20$$ мин, а одним краном — за $$2$$ ч. За какое время наполнится бассейн другим краном?
- в) Бак наполняется через две трубы за $$12$$ ч. Через сколько часов наполнится бак, если первые два часа были подключены обе трубы, а затем только одна, через которую в единицу времени поступает $$\frac{2}{3}$$ того количества воды, которое поступает через другую трубу?
- г) В бассейн проведены три трубы. Через первую бассейн наполняется за $$6$$ ч, через вторую — за $$8$$ ч, а через третью вся вода из наполненного бассейна выливается за $$12$$ ч. За сколько времени наполнится бассейн водой, если открыть одновременно все три трубы?
а) Пусть первый насос вливает $$x$$ л/мин, а второй — $$y$$ л/мин. Тогда
$$\begin{cases} x-y=10,\\ 5(x+y)=0{,}25\cdot 10000. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$5(x+y)=2500 \Rightarrow x+y=500.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x-y=10,\\ x+y=500. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=510 \Rightarrow x=255,\qquad y=245.$$
За 10 минут первый насос вливает $$255\cdot 10=2550$$ л, второй — $$245\cdot 10=2450$$ л.
б) Пусть первый кран наполняет бассейн за $$x$$ ч, второй — за $$y$$ ч. Тогда
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}, \qquad \frac{1}{x}=\frac{1}{2}.$$
Значит, первый кран наполняет бассейн за $$2$$ ч. Тогда
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{4} \Rightarrow y=4.$$
Другой кран наполняет бассейн за $$4$$ ч.
в) Пусть первая труба наполняет бак за $$x$$ ч, вторая — за $$y$$ ч. Тогда
$$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{y}.$$
Пусть после первых двух часов обе трубы работают вместе ещё $$t$$ часов. Тогда
$$2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{t}{x}=1.$$
Из условия $$\frac{1}{x}=\frac{2}{3y}$$ получаем $$x=\frac{3y}{2}$$. Подставим в первое уравнение:
$$2\left(\frac{2}{3y}+\frac{1}{y}\right)+\frac{t}{3y/2}=1.$$
Упростим:
$$2\cdot \frac{5}{3y}+\frac{2t}{3y}=1 \Rightarrow \frac{10+2t}{3y}=1.$$
Из этого и условия задачи получаем $$y=20$$ ч, $$x=30$$ ч. Тогда
$$2\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{20}\right)+\frac{t}{30}=1.$$
$$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}+\frac{t}{30}=1 \Rightarrow \frac{2+3+t}{30}=1 \Rightarrow t=25.$$
Общее время наполнения бака:
$$25+2=27 \text{ ч}.$$
г) Скорости труб равны:
$$\frac{1}{6},\quad \frac{1}{8},\quad -\frac{1}{12}.$$
Суммарная скорость:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12} =\frac{4}{24}+\frac{3}{24}-\frac{2}{24} =\frac{5}{24}.$$
Значит, бассейн наполнится за
$$\frac{1}{5/24}=\frac{24}{5}=4{,}8 \text{ ч}.$$
Ответ
а) $$2550$$ л и $$2450$$ л; б) $$4$$ ч; в) $$27$$ ч; г) $$4{,}8$$ ч.
