Упр.972 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
б) Двумя кранами бассейн наполняется за 1 ч 20 мин, а одним краном — за 2 ч. За какое время наполнится бассейн другим краном?
в) Бак наполняется через две трубы за 12 ч. Через сколько часов наполнится бак, если первые два часа были подключены обе трубы, а затем только одна, через которую в единицу времени поступает две трети того количества воды, которое поступает через другую трубу?
г) В бассейн проведены три трубы. Через первую бассейн наполняется за 6 ч, через вторую — за 8 ч, а через третью вся вода из наполненного бассейна выливается за 12 ч. За сколько времени наполнится бассейн водой, если открыть одновременно все три трубы?
а) Пусть первый насос вливает $$x$$ л/мин, а второй — $$y$$ л/мин. Тогда
$$ \begin{cases} x-y=10,\\ 5(x+y)=0{,}25\cdot 10000. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 5(x+y)=2500 \Rightarrow x+y=500. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x-y=10,\\ x+y=500. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2x=510 \Rightarrow x=255,\qquad y=245. $$
За 10 минут первый насос вливает $$255\cdot 10=2550$$ л, второй — $$245\cdot 10=2450$$ л.
б) Пусть первый кран наполняет бассейн за $$x$$ ч, второй — за $$y$$ ч. Тогда
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}, \qquad \frac{1}{x}=\frac{1}{2}. $$
Значит, первый кран наполняет бассейн за $$2$$ ч. Тогда
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{4} \Rightarrow y=4. $$
Другой кран наполняет бассейн за $$4$$ ч.
в) Пусть первая труба наполняет бак за $$x$$ ч, вторая — за $$y$$ ч. Тогда
$$ \frac{1}{x}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{y}. $$
Пусть после первых двух часов обе трубы работают вместе ещё $$t$$ часов. Тогда
$$ 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{t}{x}=1. $$
Из условия $$\frac{1}{x}=\frac{2}{3y}$$ получаем $$x=\frac{3y}{2}$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 2\left(\frac{2}{3y}+\frac{1}{y}\right)+\frac{t}{3y/2}=1. $$
Упростим:
$$ 2\cdot \frac{5}{3y}+\frac{2t}{3y}=1 \Rightarrow \frac{10+2t}{3y}=1. $$
Из этого и условия задачи получаем $$y=20$$ ч, $$x=30$$ ч. Тогда
$$ 2\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{20}\right)+\frac{t}{30}=1. $$
$$ \frac{1}{15}+\frac{1}{10}+\frac{t}{30}=1 \Rightarrow \frac{2+3+t}{30}=1 \Rightarrow t=25. $$
Общее время наполнения бака:
$$ 25+2=27 \text{ ч}. $$
г) Скорости труб равны:
$$ \frac{1}{6},\quad \frac{1}{8},\quad -\frac{1}{12}. $$
Суммарная скорость:
$$ \frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12} =\frac{4}{24}+\frac{3}{24}-\frac{2}{24} =\frac{5}{24}. $$
Значит, бассейн наполнится за
$$ \frac{1}{5/24}=\frac{24}{5}=4{,}8 \text{ ч}. $$
Ответ
а) $$2550$$ л и $$2450$$ л; б) $$4$$ ч; в) $$27$$ ч; г) $$4{,}8$$ ч.
