Упр.97 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, используя определение, что функция $$y=x^2$$ является убывающей на промежутке $$(-\infty;0]$$.

Пусть $$x_1<x_2$$, где $$x_1,x_2\in(-\infty;0].$$ Докажем, что тогда $$x_1^2>x_2^2$$.

Если $$x_2=0$$, то $$x_1<0$$, значит $$x_1^2>0=x_2^2$$.

Если же $$x_1<x_2\le 0$$, то при умножении неравенства $$x_1<x_2$$ на $$-1$$ знак меняется:

$$-x_1>-x_2.$$

Так как $$-x_1\ge 0$$ и $$-x_2\ge 0$$, то при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется:

$$(-x_1)^2>(-x_2)^2,$$

то есть

$$x_1^2>x_2^2.$$

Следовательно, при увеличении $$x$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$ значение функции $$y=x^2$$ уменьшается, значит функция убывает на этом промежутке.

Ответ

Функция $$y=x^2$$ убывает на промежутке $$(-\infty;0].$$