Упр.967 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 967 Вася возвёл в квадрат число мальчиков и число девочек нашего класса. Сумма полученных чисел оказалась в 25 раз больше числа мальчиков. Сколько мальчиков в нашем классе, если девочек больше десяти, а мальчиков больше, чем девочек?

Пусть девочек в классе $$x$$ человек, а мальчиков $$y$$ человек. По условию $$x>10$$ и $$y>x$$.

Составим уравнение:

$$x^2+y^2=25y.$$

Так как $$y>x$$, то $$y-x>0$$, значит

$$y^2-2xy+x^2>0,$$

откуда

$$x^2+y^2>2xy.$$

Но $$x^2+y^2=25y$$, значит

$$25y>2xy,$$

$$25>2x,$$

то есть

$$x<12{,}5.$$

С учётом $$x>10$$ получаем $$x=11$$ или $$x=12$$.

Проверим оба случая.

1) $$x=11$$

$$11^2+y^2=25y$$

$$y^2-25y+121=0.$$

Дискриминант:

$$D=25^2-4\cdot121=625-484=141.$$

Корней в целых числах нет.

2) $$x=12$$

$$12^2+y^2=25y$$

$$y^2-25y+144=0.$$

Дискриминант:

$$D=25^2-4\cdot144=625-576=49.$$

Тогда

$$y=\frac{25\pm7}{2}.$$

Получаем $$y=9$$ или $$y=16$$. Так как $$y>x>10$$, подходит только $$y=16$$.

Ответ

16 мальчиков.