Упр.966 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 966. Саша сказал: «Моему младшему брату больше семи лет, а сумма квадратов наших возрастов в 20 раз больше моего возраста». Сколько лет Саше?

Пусть младшему брату Саши $$x$$ лет, а Саше — $$y$$ лет. Тогда по условию $$x>7$$, значит и $$y>7$$.

Составим уравнение:

$$x^2+y^2=20y$$

Преобразуем его:

$$x^2+y^2-20y=0$$

$$x^2+(y^2-20y+100)=100$$

$$x^2+(y-10)^2=100$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые положительные числа, проверим возможные разложения числа $$100$$ на сумму двух квадратов:

$$100=64+36$$

Тогда

$$x^2=36,\quad (y-10)^2=64$$

Отсюда

$$x=6,\quad y-10=8 \text{ или } y-10=-8$$

Но $$x>7$$, значит $$x=6$$ не подходит.

Рассмотрим другой вариант:

$$100=36+64$$

Тогда

$$x^2=36,\quad (y-10)^2=64$$

Получаем $$x=6$$, что снова не подходит.

Остаётся вариант:

$$x^2=64,\quad (y-10)^2=36$$

Тогда

$$x=8,\quad y-10=6$$

Следовательно,

$$y=16$$

Проверка:

$$8^2+16^2=64+256=320=20\cdot 16$$

Ответ

$$16$$ лет.