Упр.963 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 963. Если переставить цифры двузначного числа, то получится число, которое на 18 меньше данного числа. Произведение этих двух чисел в 126 раз больше произведения цифр, которыми они записаны. Определите число.

Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

После перестановки цифр получаем число $$10b+a.$$ По условию оно на $$18$$ меньше данного:

$$10b+a=10a+b-18.$$

Произведение этих чисел в $$126$$ раз больше произведения цифр:

$$\left(10a+b\right)\left(10b+a\right)=126ab.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 10b+a=10a+b-18,\\ (10a+b)(10b+a)=126ab. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$9b-9a=-18,$$

$$b-a=-2,$$

$$a=b+2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ (10(b+2)+b)(10b+(b+2))=126(b+2)b $$

$$ (11b+20)(11b+2)=126b(b+2). $$

Раскроем скобки:

$$ 121b^2+242b+40=126b^2+252b. $$

$$ 5b^2+10b-40=0, $$

$$ b^2+2b-8=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36, $$

$$ b=\frac{-2\pm 6}{2}. $$

Получаем $$b=2$$ или $$b=-4.$$ Так как цифра не может быть отрицательной, то $$b=2.$$ Тогда

$$a=b+2=4.$$

Искомое число:

$$10a+b=42.$$

Ответ

42