Упр.962 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Сумма цифр двузначного числа на $$29$$ меньше произведения цифр и на $$72$$ меньше суммы квадратов цифр. Определите это число.

Пусть двузначное число имеет цифры $$a$$ и $$b$$. Тогда само число можно записать как $$10a+b$$, его сумма цифр равна $$a+b$$, произведение цифр — $$ab$$, а сумма квадратов цифр — $$a^2+b^2$$.

По условию:

$$\begin{cases} a+b+29=ab,\\ a+b+72=a^2+b^2. \end{cases}$$

Так как $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$, введём обозначения:

$$x=a+b,\quad y=ab.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} x+29=y,\\ x+72=x^2-2y. \end{cases}$$

Подставим $$y=x+29$$ во второе уравнение:

$$x+72=x^2-2(x+29)$$
$$x+72=x^2-2x-58$$
$$x^2-3x-130=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-130)=9+520=529,$$
$$\sqrt{D}=23.$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 23}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-10,\quad x_2=13.$$

Значение $$x=-10$$ не подходит, так как сумма цифр двузначного числа не может быть отрицательной. Значит,

$$x=13,\quad y=x+29=42.$$

Теперь найдём цифры числа из системы:

$$\begin{cases} a+b=13,\\ ab=42. \end{cases}$$

Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-13t+42=0.$$

$$D=13^2-4\cdot 42=169-168=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 1}{2}.$$

Получаем цифры $$6$$ и $$7$$. Следовательно, искомое число — $$67$$ или $$76$$.

Ответ

$$67$$ или $$76$$.