Упр.962 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 962. Сумма цифр двузначного числа на 29 меньше произведения цифр и на 72 меньше суммы квадратов цифр. Определите это число.

Пусть двузначное число имеет цифры $$a$$ и $$b$$. Тогда само число можно записать как $$10a+b$$, его сумма цифр равна $$a+b$$, произведение цифр — $$ab$$, а сумма квадратов цифр — $$a^2+b^2$$.

По условию:

$$ \begin{cases} a+b+29=ab,\\ a+b+72=a^2+b^2. \end{cases} $$

Так как $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$, введём обозначения:

$$ x=a+b,\quad y=ab. $$

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} x+29=y,\\ x+72=x^2-2y. \end{cases} $$

Подставим $$y=x+29$$ во второе уравнение:

$$ x+72=x^2-2(x+29) $$
$$ x+72=x^2-2x-58 $$
$$ x^2-3x-130=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-130)=9+520=529, $$
$$ \sqrt{D}=23. $$

$$ x_{1,2}=\frac{3\pm 23}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=-10,\quad x_2=13. $$

Значение $$x=-10$$ не подходит, так как сумма цифр двузначного числа не может быть отрицательной. Значит,

$$ x=13,\quad y=x+29=42. $$

Теперь найдём цифры числа из системы:

$$ \begin{cases} a+b=13,\\ ab=42. \end{cases} $$

Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$ t^2-13t+42=0. $$

$$ D=13^2-4\cdot 42=169-168=1, $$
$$ t_{1,2}=\frac{13\pm 1}{2}. $$

Получаем цифры $$6$$ и $$7$$. Следовательно, искомое число — $$67$$ или $$76$$.

Ответ

$$67$$ или $$76$$.