Упр.961 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 961. Разность квадратов двух чисел 1029, а отношение чисел 2 : 5. Найдите эти числа.

Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию

$$ \begin{cases} x^2-y^2=1029,\\ x:y=2:5 \end{cases} $$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$2x=5y$$, то $$x=2{,}5y$$. Подставим в первое уравнение:

$$ (2{,}5y)^2-y^2=1029 $$
$$ 6{,}25y^2-y^2=1029 $$
$$ 5{,}25y^2=1029 $$
$$ y^2=196 $$
$$ y=\pm 14 $$

Тогда

$$ x=2{,}5\cdot 14=35,\qquad x=2{,}5\cdot(-14)=-35. $$

Получаем пары чисел: $$(-35;\,-14)$$ и $$(35;\,14)$$.

2) Если $$5x=2y$$, то $$y=2{,}5x$$. Тогда

$$ x^2-(2{,}5x)^2=1029 $$
$$ x^2-6{,}25x^2=1029 $$
$$ -5{,}25x^2=1029 $$
$$ x^2=-196 $$

Действительных решений нет.

Ответ

$$(-35;\,-14)$$ и $$(35;\,14)$$.