Упр.954 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Если одну из сторон прямоугольника увеличить на $$5\ \text{м}$$, а вторую — на $$4\ \text{м}$$, то площадь прямоугольника увеличится на $$113\ \text{м}^2$$. Если же первую сторону увеличить на $$4\ \text{м}$$, а вторую — на $$5\ \text{м}$$, то площадь увеличится на $$116\ \text{м}^2$$. Определите длину и ширину прямоугольника.
б) Если длину прямоугольника увеличить на $$3\ \text{м}$$, а ширину уменьшить на $$2\ \text{м}$$, то площадь прямоугольника не изменится. Также не изменится площадь прямоугольника, если длину его уменьшить на $$2\ \text{м}$$, а ширину увеличить на $$3\ \text{м}$$. Определите длину и ширину прямоугольника.
а) Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, а ширина — $$b$$ м. Тогда его площадь равна $$ab$$.
По условию составим систему:
$$\begin{cases} (a+5)(b+4)=ab+113,\\ (a+4)(b+5)=ab+116. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$(a+5)(b+4)-(a+4)(b+5)=113-116$$
$$ab+4a+5b+20-ab-5a-4b-20=-3$$
$$-a+b=-3,\quad a=b+3.$$
Подставим $$a=b+3$$ в первое уравнение:
$$(b+3+5)(b+4)=b(b+3)+113$$
$$(b+8)(b+4)=b^2+3b+113$$
$$b^2+12b+32=b^2+3b+113$$
$$9b=81,\quad b=9.$$
Тогда
$$a=b+3=12.$$
Значит, ширина прямоугольника $$9$$ м, длина $$12$$ м.
б) Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, а ширина — $$b$$ м. Тогда его площадь равна $$ab$$.
Составим систему:
$$\begin{cases} (a+3)(b-2)=ab,\\ (a-2)(b+3)=ab. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$(a+3)(b-2)-(a-2)(b+3)=0$$
$$ab-2a+3b-6-ab-3a+2b+6=0$$
$$-5a+5b=0,\quad a=b.$$
Подставим $$a=b$$ в первое уравнение:
$$(b+3)(b-2)=b^2$$
$$b^2+b-6=b^2$$
$$b=6.$$
Следовательно, $$a=6$$.
Значит, прямоугольник — квадрат со стороной $$6$$ м.
Ответ
а) $$9$$ м и $$12$$ м; б) $$6$$ м и $$6$$ м.
