Упр.954 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Если длину прямоугольника увеличить на 3 м, а ширину уменьшить на 2 м, то площадь прямоугольника не изменится. Также не изменится площадь прямоугольника, если длину его уменьшить на 2 м, а ширину увеличить на 3 м. Определите длину и ширину прямоугольника.

а) Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, а ширина — $$b$$ м. Тогда его площадь равна $$ab$$.

По условию составим систему:

$$ \begin{cases} (a+5)(b+4)=ab+113,\\ (a+4)(b+5)=ab+116. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (a+5)(b+4)-(a+4)(b+5)=113-116 $$

$$ ab+4a+5b+20-ab-5a-4b-20=-3 $$

$$ -a+b=-3,\quad a=b+3. $$

Подставим $$a=b+3$$ в первое уравнение:

$$ (b+3+5)(b+4)=b(b+3)+113 $$

$$ (b+8)(b+4)=b^2+3b+113 $$

$$ b^2+12b+32=b^2+3b+113 $$

$$ 9b=81,\quad b=9. $$

Тогда

$$ a=b+3=12. $$

Значит, ширина прямоугольника $$9$$ м, длина $$12$$ м.

б) Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, а ширина — $$b$$ м. Тогда его площадь равна $$ab$$.

Составим систему:

$$ \begin{cases} (a+3)(b-2)=ab,\\ (a-2)(b+3)=ab. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (a+3)(b-2)-(a-2)(b+3)=0 $$

$$ ab-2a+3b-6-ab-3a+2b+6=0 $$

$$ -5a+5b=0,\quad a=b. $$

Подставим $$a=b$$ в первое уравнение:

$$ (b+3)(b-2)=b^2 $$

$$ b^2+b-6=b^2 $$

$$ b=6. $$

Следовательно, $$a=6$$.

Значит, прямоугольник — квадрат со стороной $$6$$ м.

Ответ

а) $$9$$ м и $$12$$ м; б) $$6$$ м и $$6$$ м.