Упр.929 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Старинная задача (Древний Вавилон, ок. 1950 г. до н. э.). Площадь $$A$$, состоящая из площадей двух квадратов, равна $$1000$$. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на $$10$$ две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?

Пусть $$x$$ — сторона первого квадрата, а $$y$$ — сторона второго квадрата.

Тогда по условию составим систему:

$$\begin{cases} x^2+y^2=1000,\\ y=\frac{2}{3}x-10. \end{cases}$$

Подставим выражение для $$y$$ в первое уравнение:

$$x^2+\left(\frac{2}{3}x-10\right)^2=1000.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+\frac{4}{9}x^2-\frac{40}{3}x+100=1000.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{13}{9}x^2-\frac{40}{3}x-900=0.$$

Умножим на $$9$$:

$$13x^2-120x-8100=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-120)^2-4\cdot 13\cdot(-8100)=14400+421200=435600,$$

$$\sqrt{D}=660.$$

Тогда

$$x=\frac{120\pm 660}{2\cdot 13}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{120-660}{26}=-\frac{540}{26}<0,$$

это не подходит, и

$$x_2=\frac{120+660}{26}=\frac{780}{26}=30.$$

Найдём $$y$$:

$$y=\frac{2}{3}\cdot 30-10=20-10=10.$$

Ответ

$$30$$ и $$10$$.