Упр.926 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 926 Отец и сын принялись косить два соседних луга, площади которых относятся как 8:7. Когда отец скосил три четверти большего луга, а сын скосил больше половины меньшего, они присели отдохнуть и подсчитали, что если будут работать с той же производительностью, но поменяются местами, то закончат работу одновременно. Во сколько раз отец косил быстрее сына? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 nikol8 926 827

Подробный ответ

Пусть площади лугoв равны $$7x$$ и $$8x$$. Тогда отец скосил $$\frac{3}{4}\cdot 8x=6x$$, а сын скосил больше половины меньшего луга, то есть больше $$\frac{7x}{2}$$.

После отдыха отец должен докосить $$7x-6x=x$$, а сын — меньше чем $$\frac{7x}{2}$$.

Обозначим, во сколько раз отец косит быстрее сына, через $$k$$. Тогда за одно и то же время отец скосит в $$k$$ раз больше, чем сын. По условию, если они поменяются местами, то закончат работу одновременно, значит отношение оставшихся частей равно отношению их производительностей:

$$\frac{x}{7x- y}=\frac{y}{\frac{7x}{2}}$$

Удобнее рассмотреть отношение скоростей через уже скосенные части. Пусть за одно и то же время отец скосил $$6x$$, а сын — $$y$$. Тогда после отдыха отец скосит $$x$$, а сын — $$7x-y$$, и

$$\frac{6x}{y}=\frac{7x-y}{x}$$

Отсюда

$$6x^2=y(7x-y)$$

$$6x^2=7xy-y^2$$

$$y^2-7xy+6x^2=0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$D=49x^2-24x^2=25x^2$$

$$y=\frac{7x\pm 5x}{2}$$

$$y_1=6x,\quad y_2=x$$

Так как сын скосил больше половины меньшего луга, то $$y>\frac{7x}{2}$$, значит подходит только $$y=6x$$.

Тогда отношение производительностей:

$$\frac{6x}{y}=\frac{6x}{4x}=\frac{3}{2}$$