Упр.925 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Брат и сестра собирали малину. Когда сестра собрала $$\frac{2}{3}$$ своего двухлитрового бидона, трёхлитровый бидон брата был почти полон. Ребята поменялись бидонами и через некоторое время одновременно закончили сбор ягод. Во сколько раз брат работал быстрее сестры?

Подробный ответ

Пусть брат собрал всего $$x$$ л малины. Тогда сестра до обмена собрала $$\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}$$ л.

После обмена брат работал с двухлитровым бидоном и собрал ещё $$2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$ л, а сестра — с трёхлитровым бидоном и собрала ещё

$$3-\left(x-\frac{2}{3}\right)=3-\!x+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}-x.$$

Так как после обмена они закончили сбор одновременно, то отношение их скоростей равно отношению оставшихся объёмов:

$$\frac{\frac{4}{3}}{x-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{11}{3}-x}{\frac{2}{3}}.$$

Решим уравнение:

$$\frac{4}{3}\cdot \frac{2}{3}=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{11}{3}-x\right)$$
$$\frac{8}{9}=\frac{11}{3}x-x^2-\frac{22}{9}+\frac{2}{3}x$$
$$\frac{8}{9}=\frac{13}{3}x-x^2-\frac{22}{9}$$
$$9x^2-39x+30=0$$
$$3x^2-13x+10=0$$
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 10=169-120=49$$
$$x=\frac{13\pm 7}{6}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac{10}{3}$$

Значение $$x_1=1$$ не подходит, так как тогда брат работал бы медленнее сестры. Значит, брат собрал всего $$\frac{10}{3}$$ л.

Сестра собрала всего:

$$\frac{4}{3}+\left(3-\left(\frac{10}{3}-\frac{2}{3}\right)\right)=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\text{ л}.$$

Тогда брат работал быстрее сестры в

$$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}}=2$$

раза.