Упр.918 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 918. Двое рабочих должны выполнить некоторую работу. Вначале 2 ч работал первый, затем присоединился второй, и вместе они работали 1 ч. Оставшуюся после этого работу второй рабочий закончил за 3 ч. За какое время каждый может выполнить всю работу, если первому для выполнения всей работы нужно на 2 ч меньше, чем второму?

Подробный ответ

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $$x$$ ч, тогда второму потребуется $$x+2$$ ч.

За 2 часа первый выполнит $$\frac{2}{x}$$ работы. Затем за 1 час они вместе выполнят $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}$$ работы. После этого второй рабочий за 3 часа выполнит $$\frac{3}{x+2}$$ работы.

Так как вся работа равна 1, составим уравнение:

$$\frac{2}{x}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\right)+\frac{3}{x+2}=1$$

Упростим:

$$\frac{3}{x}+\frac{4}{x+2}=1$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3(x+2)+4x-x(x+2)}{x(x+2)}=0$$

Так как $$x \ne 0$$ и $$x \ne -2$$, получаем:

$$3x+6+4x-x^2-2x=0$$

$$-x^2+5x+6=0$$

$$x^2-5x-6=0$$

Найдём корни:

$$D=25+24=49$$

$$x=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=6$$

Значение $$x=-1$$ не подходит, так как время не может быть отрицательным. Значит, первый рабочий выполнит всю работу за $$6$$ ч, а второй — за $$8$$ ч.