Упр.880 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Имеются два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно $$1:2$$, а во втором — $$2:3$$. Если сплавить $$\frac{1}{3}$$ первого слитка с $$\frac{5}{6}$$ второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было в первом меди, а если $$\frac{2}{3}$$ первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на $$1\text{ кг}$$ больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Пусть $$x$$ кг — масса первого слитка, а $$y$$ кг — масса второго слитка.

Тогда в первом слитке золота $$\frac{1}{3}x$$ кг, меди $$\frac{2}{3}x$$ кг.

Во втором слитке золота $$\frac{2}{5}y$$ кг, меди $$\frac{3}{5}y$$ кг.

Составим систему по условию:

$$\begin{cases} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}x+\frac{5}{6}\cdot \frac{2}{5}y=\frac{2}{3}x,\\ \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}y=\frac{2}{5}y+1. \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} \frac{1}{9}x+\frac{1}{3}y=\frac{2}{3}x,\\ \frac{4}{9}x+\frac{3}{10}y=\frac{2}{5}y+1. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\frac{1}{3}y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}x=\frac{5}{9}x, \qquad y=\frac{5}{3}x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{4}{9}x+\frac{3}{10}\cdot \frac{5}{3}x=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{3}x+1$$

$$\frac{4}{9}x+\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}x+1$$

$$\frac{8}{18}x+\frac{9}{18}x=\frac{12}{18}x+1$$

$$\frac{5}{18}x=1,\qquad x=\frac{18}{5}=3{,}6.$$

Тогда

$$y=\frac{5}{3}\cdot 3{,}6=6.$$

Найдём количество золота в каждом слитке:

$$\frac{1}{3}\cdot 3{,}6=1{,}2 \text{ кг}, \qquad \frac{2}{5}\cdot 6=2{,}4 \text{ кг}.$$

Ответ

В первом слитке было $$1{,}2$$ кг золота, во втором — $$2{,}4$$ кг.