Упр.871 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что в предыдущей задаче из условия $$p_2 < p_1$$ следует, что $$p_2 < p < p_1$$.

Пусть

$$p=\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}.$$

Так как $$m_1>0$$ и $$m_2>0,$$ то $$m_1+m_2>0.$$

Докажем сначала, что $$p_2<p.$$ Для этого сравним $$p$$ с $$p_2$$:

$$p_2<\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}$$

умножим на положительное число $$m_1+m_2$$:

$$p_2(m_1+m_2)<p_1m_1+p_2m_2$$

$$p_2m_1+p_2m_2<p_1m_1+p_2m_2$$

$$p_2m_1<p_1m_1$$

Так как $$m_1>0,$$ получаем:

$$p_2<p_1.$$

Значит, из условия действительно следует, что $$p_2<p.$$

Теперь докажем, что $$p<p_1$$:

$$\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}<p_1$$

умножим на положительное число $$m_1+m_2$$:

$$p_1m_1+p_2m_2<p_1(m_1+m_2)$$

$$p_1m_1+p_2m_2<p_1m_1+p_1m_2$$

$$p_2m_2<p_1m_2$$

Так как $$m_2>0,$$ имеем:

$$p_2<p_1.$$

Следовательно, $$p<p_1.$$

Итак, получаем:

$$p_2<p<p_1.$$

Ответ

$$p_2<p<p_1.$$