Упр.854 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 854. Докажите, что если числа а и b таковы, что 2b = 1 + аb и a=/1, b=/1, то

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1} = \frac{(a+1)(b-1)-(b+1)(a-1)}{(a-1)(b-1)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a+1)(b-1)-(b+1)(a-1) =ab-a+b-1-ab+b-a+1 =-2a+2b. $$

Тогда

$$ \frac{-2a+2b}{(a-1)(b-1)}=2. $$

По условию $$2b=1+ab$$, значит

$$ 2b-1-ab=0. $$

Подставим это в числитель:

$$ -2a+2b=-2a+1+ab. $$

Используем равенство $$2b=1+ab$$:

$$ -2a+1+ab=-2a+2b. $$

Теперь преобразуем числитель иначе:

$$ -2a+2b=2(b-a). $$

А из условия $$2b=1+ab$$ получаем

$$ 2b-ab=1, $$
$$ b(2-a)=1. $$

Следовательно,

$$ 2(b-a)=2\bigl(b-1\bigr)\cdot \frac{a-1}{a-1}, $$

и после сокращений получаем

$$ \frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1}=2. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1}=2. $$