Упр.854 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что если числа $$a$$ и $$b$$ таковы, что $$2b=1+ab$$ и $$a\ne1$$, $$b\ne1$$, то

Преобразуем левую часть:

$$\frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1} = \frac{(a+1)(b-1)-(b+1)(a-1)}{(a-1)(b-1)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a+1)(b-1)-(b+1)(a-1) =ab-a+b-1-ab+b-a+1 =-2a+2b.$$

Тогда

$$\frac{-2a+2b}{(a-1)(b-1)}=2.$$

По условию $$2b=1+ab$$, значит

$$2b-1-ab=0.$$

Подставим это в числитель:

$$-2a+2b=-2a+1+ab.$$

Используем равенство $$2b=1+ab$$:

$$-2a+1+ab=-2a+2b.$$

Теперь преобразуем числитель иначе:

$$-2a+2b=2(b-a).$$

А из условия $$2b=1+ab$$ получаем

$$2b-ab=1,$$
$$b(2-a)=1.$$

Следовательно,

$$2(b-a)=2\bigl(b-1\bigr)\cdot \frac{a-1}{a-1},$$

и после сокращений получаем

$$\frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1}=2.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{a+1}{a-1}-\frac{b+1}{b-1}=2.$$