Упр.853 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что точки координатной оси, соответствующие числам вида $$\frac{n^5+n^4+n^3+2}{n^5+n^4+n^3+1}$$ (где $$n$$ — натуральное число), расположены на отрезке, длина которого не превышает $$\frac{1}{4}$$.

Рассмотрим выражение

$$\frac{n^5+n^4+n^3+2}{n^5+n^4+n^3+1}.$$

Преобразуем его:

$$\frac{n^5+n^4+n^3+2}{n^5+n^4+n^3+1}=1+\frac{1}{n^5+n^4+n^3+1}.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то

$$n^5+n^4+n^3+1 \ge 1+1+1+1=4,$$

значит,

$$0<\frac{1}{n^5+n^4+n^3+1}\le \frac14.$$

Тогда

$$1<\frac{n^5+n^4+n^3+2}{n^5+n^4+n^3+1}\le 1+\frac14=\frac54.$$

Следовательно, все точки с такими координатами лежат на отрезке $$\left(1;\frac54\right]$$, длина которого равна

$$\frac54-1=\frac14.$$

Ответ

$$1<\frac{n^5+n^4+n^3+2}{n^5+n^4+n^3+1}\le \frac54,$$

поэтому все такие точки лежат на отрезке длины $$\frac14$$.