Упр.851 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Докажите, что разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4.
в) Докажите, что разность квадратов любых двух нечётных чисел делится на 8.

1. Рассмотрим выражение

   $$\frac{a^3-a}{6}.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1).$$

   Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных целых чисел одно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$, значит всё произведение делится на $$6$$. Следовательно,

   $$\frac{a^3-a}{6}$$

   — целое число при любом целом $$a$$.

2. Пусть два последовательных чётных числа имеют вид $$2n$$ и $$2n+2$$.

   Тогда разность их квадратов равна

   $$ (2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1). $$

   Получили число, кратное $$4$$, значит разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на $$4$$.

3. Пусть два нечётных числа имеют вид $$2n-1$$ и $$2n+1$$.

   Тогда

   $$ (2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=2\cdot 4n=8n. $$

   Следовательно, разность квадратов любых двух нечётных чисел делится на $$8$$.

Ответ

а) $$\dfrac{a^3-a}{6}$$ — целое число при любом целом $$a$$; б) делится на $$4$$; в) делится на $$8$$.