Упр.850 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что если каждое из двух натуральных чисел при делении на $$4$$ даёт в остатке $$1$$, то их произведение при делении на $$4$$ также даёт в остатке $$1$$.
   б) Докажите, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на $$120$$.

а) Пусть $$a=4m+1$$ и $$b=4n+1,$$ где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

Тогда

$$ab=(4m+1)(4n+1)=16mn+4m+4n+1=4(4mn+m+n)+1.$$

Значит, при делении на $$4$$ произведение $$ab$$ даёт остаток $$1$$.

б) Рассмотрим пять последовательных натуральных чисел. Среди них обязательно есть:

• число, делящееся на $$5$$;
• число, делящееся на $$4$$;
• число, делящееся на $$3$$;
• два чётных числа, одно из которых делится на $$2,$$ а другое — на $$4$$.

Следовательно, произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на

$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=120.$$

Значит, произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на $$120$$.

Ответ

а) Да, остаток равен $$1$$.
б) Делится на $$120$$.