Упр.849 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Какие числа можно прибавлять к делимому и делителю (при делении с остатком), чтобы частное и остаток не изменились?

Подробный ответ

Пусть при делении с остатком имеем

$$a=bq+r, \quad 0 \le r < b.$$

а) Если к делимому прибавить число $$k$$, то получим

$$a+k=bq+r.$$

Чтобы частное не изменилось, деление должно по-прежнему иметь тот же вид с тем же $$q$$. Это возможно только при $$k=0$$.

б) Пусть к делимому и делителю прибавили числа $$x$$ и $$y$$ соответственно. Тогда должно сохраниться равенство

$$a+x=(b+y)q+r.$$

Сравнивая с $$a=bq+r$$, получаем

$$x=qy.$$

Но при делении с остатком частное и остаток должны остаться прежними для любых допустимых значений, значит единственно возможный случай — когда прибавляемые числа равны нулю:

$$x=0,\quad y=0.$$