Упр.848 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 848. Решите систему уравнений:

а)

Из первого уравнения системы:

$$\frac{x+2}{y-1}=\frac12 \Rightarrow 2(x+2)=y-1,$$

то есть

$$2x-y=-5.$$

Из второго уравнения:

$$xy+3y=1 \Rightarrow y(x+3)=1 \Rightarrow y=\frac1{x+3},$$

где $$y\ne 1,\quad x\ne -3.$$

Подставим $$y=\frac1{x+3}$$ в уравнение $$2x-y=-5$$:

$$2x-\frac1{x+3}=-5.$$

Умножим на $$x+3$$:

$$2x(x+3)-1=-5(x+3),$$

$$2x^2+6x-1=-5x-15,$$

$$2x^2+11x+14=0.$$

Найдём корни:

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 14=121-112=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 3}{4}.$$

Тогда

$$x_1=-\frac72,\qquad x_2=-2.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=\frac1{-\frac72+3}=\frac1{-\frac12}=-2,$$

$$y_2=\frac1{-2+3}=1.$$

Значение $$y=1$$ не подходит, значит остаётся пара $$\left(-\frac72;\,-2\right).$$

б)

Из первого уравнения:

$$\frac{x-2}{y+1}=\frac14 \Rightarrow 4(x-2)=y+1,$$

то есть

$$y=4x-9.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$x=xy-4y=x(4x-9)-4(4x-9).$$

Раскроем скобки:

$$x=4x^2-9x-16x+36,$$

$$4x^2-26x+36=0,$$

$$2x^2-13x+18=0.$$

Найдём корни:

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 18=169-144=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{13\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=2,\qquad x_2=\frac92.$$

Тогда

$$y_1=4\cdot 2-9=-1,$$

$$y_2=4\cdot \frac92-9=9.$$

Значение $$y=-1$$ не подходит, значит решение системы:

Ответ

а) $$\left(-\frac72;\,-2\right)$$; б) $$\left(\frac92;\,9\right)$$.