Упр.846 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) система
5x+(a-1)=3b,
x-2y=3;
б) система
x+8y=b,x/(a-1)+(a-3)y=a+1.

Подробный ответ

а) Приведём систему к виду с коэффициентами при переменных:

$$ \begin{cases} 5x+(a-1)y=3b,\\ x-2y=3. \end{cases} $$

Чтобы система имела бесконечно много решений, коэффициенты при соответствующих неизвестных и свободные члены должны быть пропорциональны:

$$ \frac{5}{1}=\frac{a-1}{-2}=\frac{3b}{3}. $$

Из первых двух дробей:

$$ 5=\frac{a-1}{-2}, \quad a-1=-10, \quad a=-9. $$

Из равенства последних дробей:

$$ \frac{3b}{3}=5, \quad b=5. $$

Значит, при $$a=-9$$ и $$b=5$$ система имеет бесконечно много решений.

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы коэффициенты при неизвестных были пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$ \frac{5}{1}=\frac{a-1}{-2}\ne \frac{3b}{3}. $$

Отсюда снова получаем $$a=-9$$, а для отсутствия решений должно быть $$b\ne 5$$.

б) Запишем систему:

$$ \begin{cases} x+8y=b,\\ \dfrac{x}{a-1}+(a-3)y=a+1. \end{cases} $$

Для бесконечного числа решений коэффициенты должны быть пропорциональны:

$$ \frac{1}{\frac{1}{a-1}}=\frac{8}{a-3}=\frac{b}{a+1}. $$

Из первых двух отношений:

$$ a-1=\frac{8}{a-3}. $$

Умножим на $$a-3$$:

$$ (a-1)(a-3)=8. $$

$$ a^2-4a-5=0. $$

$$ D=16+20=36,\quad \sqrt{D}=6. $$

$$ a_{1}=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad a_{2}=\frac{4+6}{2}=5. $$

Значение $$a=-1$$ не подходит, так как тогда $$a-1=0$$. Остаётся $$a=5$$.

Теперь найдём $$b$$:

$$ \frac{8}{5-3}=\frac{b}{5+1}, $$

$$ 4=\frac{b}{6},\quad b=24. $$

Для отсутствия решений коэффициенты при неизвестных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет. При $$a=5$$ получаем бесконечно много решений только при $$b=24$$, значит при $$b\ne 24$$ решений нет.