Упр.846 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Определите, при каких числовых значениях $$a$$ и $$b$$ система уравнений имеет бесконечное множество решений; не имеет решений:
а) $$\begin{cases}5x+(a-1)=3b,\\x-2y=3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+8y=b,\\\dfrac{x}{a-1}+(a-3)y=a+1.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Приведём систему к виду с коэффициентами при переменных:

$$\begin{cases} 5x+(a-1)y=3b,\\ x-2y=3. \end{cases}$$

Чтобы система имела бесконечно много решений, коэффициенты при соответствующих неизвестных и свободные члены должны быть пропорциональны:

$$\frac{5}{1}=\frac{a-1}{-2}=\frac{3b}{3}.$$

Из первых двух дробей:

$$5=\frac{a-1}{-2}, \quad a-1=-10, \quad a=-9.$$

Из равенства последних дробей:

$$\frac{3b}{3}=5, \quad b=5.$$

Значит, при $$a=-9$$ и $$b=5$$ система имеет бесконечно много решений.

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы коэффициенты при неизвестных были пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$\frac{5}{1}=\frac{a-1}{-2}\ne \frac{3b}{3}.$$

Отсюда снова получаем $$a=-9$$, а для отсутствия решений должно быть $$b\ne 5$$.

б) Запишем систему:

$$\begin{cases} x+8y=b,\\ \dfrac{x}{a-1}+(a-3)y=a+1. \end{cases}$$

Для бесконечного числа решений коэффициенты должны быть пропорциональны:

$$\frac{1}{\frac{1}{a-1}}=\frac{8}{a-3}=\frac{b}{a+1}.$$

Из первых двух отношений:

$$a-1=\frac{8}{a-3}.$$

Умножим на $$a-3$$:

$$(a-1)(a-3)=8.$$

$$a^2-4a-5=0.$$

$$D=16+20=36,\quad \sqrt{D}=6.$$

$$a_{1}=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad a_{2}=\frac{4+6}{2}=5.$$

Значение $$a=-1$$ не подходит, так как тогда $$a-1=0$$. Остаётся $$a=5$$.

Теперь найдём $$b$$:

$$\frac{8}{5-3}=\frac{b}{5+1},$$

$$4=\frac{b}{6},\quad b=24.$$

Для отсутствия решений коэффициенты при неизвестных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет. При $$a=5$$ получаем бесконечно много решений только при $$b=24$$, значит при $$b\ne 24$$ решений нет.