Упр.845 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

(k — 1)х2 + 7х — 2k = О?
б) Найдите коэффициенты приведённого квадратного уравнения, если известно, что числа 10 и -15 являются его корнями.
в) Докажите, что при любых числовых значениях а, b и с уравнение х2 — 2ах + а2 — b2 — с2 = 0 имеет корни.

1. Подставим в уравнение $$x=5$$:

   $$ (k-1)\cdot 5^2+7\cdot 5-2k=0 $$

   $$ 25(k-1)+35-2k=0 $$

   $$ 25k-25+35-2k=0 $$

   $$ 23k+10=0 $$

   $$ 23k=-10,\quad k=-\frac{10}{23} $$

2. Если числа $$10$$ и $$-15$$ — корни приведённого квадратного уравнения, то его вид:

   $$ x^2-(10+(-15))x+10\cdot(-15)=0 $$

   $$ x^2+5x-150=0 $$

   Следовательно, коэффициенты:

   $$ a=1,\quad b=5,\quad c=-150 $$

3. Рассмотрим уравнение

   $$ x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0 $$

   Найдём дискриминант:

   $$ D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-b^2-c^2) $$

   $$ D=4a^2-4a^2+4b^2+4c^2=4b^2+4c^2 $$

   Так как $$4b^2+4c^2\ge 0$$ при любых числах $$b$$ и $$c$$, то $$D\ge 0$$. Значит, уравнение всегда имеет действительные корни.

Ответ

а) $$k=-\frac{10}{23}$$; б) $$a=1,\ b=5,\ c=-150$$; в) уравнение имеет корни при любых значениях $$a,\ b,\ c$$.