Упр.845 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

8. а) При каком $$k$$ число $$5$$ будет корнем уравнения $$(k-1)x^2+7x-2k=0$$?
   б) Найдите коэффициенты приведённого квадратного уравнения, если известно, что числа $$10$$ и $$-15$$ являются его корнями.
   в) Докажите, что при любых числовых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ уравнение $$x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0$$ имеет корни.

1. Подставим в уравнение $$x=5$$:

   $$(k-1)\cdot 5^2+7\cdot 5-2k=0$$

   $$25(k-1)+35-2k=0$$

   $$25k-25+35-2k=0$$

   $$23k+10=0$$

   $$23k=-10,\quad k=-\frac{10}{23}$$

2. Если числа $$10$$ и $$-15$$ — корни приведённого квадратного уравнения, то его вид:

   $$x^2-(10+(-15))x+10\cdot(-15)=0$$

   $$x^2+5x-150=0$$

   Следовательно, коэффициенты:

   $$a=1,\quad b=5,\quad c=-150$$

3. Рассмотрим уравнение

   $$x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-b^2-c^2)$$

   $$D=4a^2-4a^2+4b^2+4c^2=4b^2+4c^2$$

   Так как $$4b^2+4c^2\ge 0$$ при любых числах $$b$$ и $$c$$, то $$D\ge 0$$. Значит, уравнение всегда имеет действительные корни.

Ответ

а) $$k=-\frac{10}{23}$$; б) $$a=1,\ b=5,\ c=-150$$; в) уравнение имеет корни при любых значениях $$a,\ b,\ c$$.