Упр.843 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) Ученик решил уравнение $$5x+15=3x+9$$ следующим образом: $$5(x+3)=3(x+3),\quad 5=3$$ — и заявил, что уравнение корней не имеет, так как его решение приводит к нелепому результату. Прав ли ученик?
б) Ученик решил систему уравнений $$\begin{cases} y=2(1-x),\\ 2x+y=8 \end{cases}$$ способом подстановки, для чего выражение $$y$$ из первого уравнения он подставил во второе уравнение. Объясните это решение.
в) Ученик решил систему уравнений $$\begin{cases} 2x+y=8,\\ y=2(4-x) \end{cases}$$ способом подстановки, для чего выражение $$y$$ из второго уравнения он подставил в первое уравнение. Объясните это решение.

Подробный ответ

а) Ученик сделал неверное преобразование: из уравнения $$5x+15=3x+9$$ нельзя сразу получить $$5(x+3)=3(x+3)$$, так как это неравносильное преобразование.

Решим уравнение правильно:

$$5x+15=3x+9 \\ 5x-3x=9-15 \\ 2x=-6 \\ x=-3$$

Значит, уравнение имеет корень $$x=-3$$, поэтому ученик не прав.

б) Подставим выражение $$y=2(1-x)$$ во второе уравнение:

$$2x+y=8 \\ 2x+2(1-x)=8 \\ 2x+2-2x=8 \\ 2=8$$

Получили неверное равенство, значит, система решений не имеет. Решение ученика верно.

в) Подставим выражение $$y=2(4-x)$$ в первое уравнение:

$$2x+y=8 \\ 2x+2(4-x)=8 \\ 2x+8-2x=8 \\ 8=8$$

Получили верное тождество, значит, система имеет бесконечно много решений. Решение ученика верно.