Упр.842 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1) имела единственное решение;
2) имела бесконечное множество решений;
3) не имела решений.
б) Устно решите систему уравнений:
1) система
x+y=1,
x+z=2,
y+x=3;
2) система
5x+8y=5,
8x+5y=8.

а) Уравнение $$x-y=3$$ можно записать так: $$y=x-3.$$

1) Чтобы система имела единственное решение, второе уравнение должно задавать прямую, пересекающую первую. Например:

$$ \begin{cases} x-y=3,\\ y=2x+5. \end{cases} $$

2) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно совпадать с первым. Например:

$$ \begin{cases} x-y=3,\\ y=x-3. \end{cases} $$

3) Чтобы система не имела решений, второе уравнение должно задавать параллельную прямую. Например:

$$ \begin{cases} x-y=3,\\ y=x+3. \end{cases} $$

б) 1) Решим систему:

$$ \begin{cases} x+y=1,\\ x+z=2,\\ y+z=3. \end{cases} $$

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

$$ (x+y)+(x+z)-(y+z)=1+2-3, $$

$$ 2x=0,\quad x=0. $$

Тогда из $$x+y=1$$ получаем $$y=1$$, а из $$x+z=2$$ получаем $$z=2$$.

Значит, $$x=0,\ y=1,\ z=2.$$

2) Решим систему:

$$ \begin{cases} 5x+8y=5,\\ 8x+5y=8. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$8$$, а второе на $$5$$:

$$ \begin{cases} 40x+64y=40,\\ 40x+25y=40. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 39y=0,\quad y=0. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 5x=5,\quad x=1. $$

Ответ

а) 1) $$\begin{cases}x-y=3,\\ y=2x+5.\end{cases}$$ 2) $$\begin{cases}x-y=3,\\ y=x-3.\end{cases}$$ 3) $$\begin{cases}x-y=3,\\ y=x+3.\end{cases}$$

б) 1) $$\left(0;1;2\right)$$; 2) $$\left(1;0\right)$$.