Упр.838 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Определите, сколько решений имеет система уравнений, и дайте объяснение решения с помощью графиков:
   а) $$\begin{cases}2x+3y=5,\\2x+3y=-1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}2x-y=3,\\2x+y=3;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x-3y=5,\\2x-6y=10;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}3x+y=5,\\x+y=5.\end{cases}$$

1. а)

   Преобразуем уравнения к виду $$y=kx+b$$:
   $$2x+3y=5 \\ 3y=5-2x \\ y=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x$$
   $$2x+3y=-1 \\ 3y=-1-2x \\ y=-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x$$
   У прямых одинаковые угловые коэффициенты $$k_1=k_2=-\frac{2}{3}$$, а свободные члены разные. Значит, прямые параллельны и не пересекаются.

   Решений нет.

2. б)

   Преобразуем уравнения:
   $$2x-y=3 \\ y=2x-3$$
   $$2x+y=3 \\ y=3-2x$$
   Найдём точку пересечения:
   $$2x-3=3-2x \\ 4x=6 \\ x=1{,}5$$
   Тогда
   $$y=2\cdot 1{,}5-3=0$$

   Одно решение: $$(1{,}5;\,0).$$

3. в)

   Преобразуем уравнения:
   $$x-3y=5 \\ 3y=x-5 \\ y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$$
   $$2x-6y=10 \\ 6y=2x-10 \\ y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$$
   Получились одинаковые уравнения прямой, значит графики совпадают.

   Бесконечно много решений.

4. г)

   Преобразуем уравнения:
   $$3x+y=5 \\ y=5-3x$$
   $$x+y=5 \\ y=5-x$$
   Найдём точку пересечения:
   $$5-3x=5-x \\ -3x=-x \\ -2x=0 \\ x=0$$
   Тогда
   $$y=5-3\cdot 0=5$$

   Одно решение: $$(0;\,5).$$

Ответ

а) решений нет; б) $$(1{,}5;\,0)$$; в) бесконечно много решений; г) $$(0;\,5)$$.