Упр.836 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1/3*y = 1/2*x-1,
1/4*y=2/5*x-1;
б) система
2x-5/3*y=4,
3x-7/2*y=0;
в) система
1/3*x + 1/4*y=6,
3x-4y=4;
г) система
x/7-y/3=-1,
5x/3-35y/12=0;
д) система
3(3x-y)+2/5*(x-2y)=17,
5x+y=3;
е) система
2(2y-x) + 1/7*(y+3x)=1,
5y+x=7;
ж) система
з) система
и) система
к) система

1. а)

   $$\begin{cases} \frac13y=\frac12x-1,\\ \frac14y=\frac25x-1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$20$$:
   $$\begin{cases} 2y-3x=-6,\\ 5y-8x=-20 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$2$$:
   $$\begin{cases} 10y-15x=-30,\\ 10y-16x=-40 \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$x=10.$$
   Подставим в $$2y-3x=-6$$:
   $$2y-30=-6,$$
   $$2y=24,$$
   $$y=12.$$

   Ответ: $$\left(10;12\right).$$

2. б)

   $$\begin{cases} 2x-\frac53y=4,\\ 3x-\frac72y=0 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
   $$\begin{cases} 6x-5y=12,\\ 6x-7y=0 \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$2y=12,$$
   $$y=6.$$
   Подставим в $$6x-7y=0$$:
   $$6x-42=0,$$
   $$x=7.$$

   Ответ: $$\left(7;6\right).$$

3. в)

   $$\begin{cases} \frac13x+\frac14y=6,\\ 3x-4y=4 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$12$$:
   $$4x+3y=72.$$
   Умножим второе уравнение на $$4$$:
   $$12x-16y=16.$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$:
   $$12x+9y=216.$$
   Вычтем из него второе:
   $$25y=200,$$
   $$y=8.$$
   Подставим в $$3x-4y=4$$:
   $$3x-32=4,$$
   $$3x=36,$$
   $$x=12.$$

   Ответ: $$\left(12;8\right).$$

4. г)

   $$\begin{cases} \frac{x}{7}-\frac{y}{3}=-1,\\ \frac{5x}{3}-\frac{35y}{12}=0 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$21$$, второе — на $$12$$:
   $$\begin{cases} 3x-7y=-21,\\ 20x-35y=0 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$5$$:
   $$15x-35y=-105.$$
   Вычтем из него второе:
   $$-5x=-105,$$
   $$x=21.$$
   Подставим в $$3x-7y=-21$$:
   $$63-7y=-21,$$
   $$7y=84,$$
   $$y=12.$$

   Ответ: $$\left(21;12\right).$$

5. д)

   $$\begin{cases} 3(3x-y)+\frac25(x-2y)=17,\\ 5x+y=3 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$5$$:
   $$15(3x-y)+2(x-2y)=85.$$
   Раскроем скобки:
   $$45x-15y+2x-4y=85,$$
   $$47x-19y=85.$$
   Из второго уравнения:
   $$y=3-5x.$$
   Подставим в первое:
   $$47x-19(3-5x)=85,$$
   $$47x-57+95x=85,$$
   $$142x=142,$$
   $$x=1.$$
   Тогда
   $$y=3-5\cdot1=-2.$$

   Ответ: $$\left(1;-2\right).$$

6. е)

   $$\begin{cases} 2(2y-x)+\frac17(y+3x)=1,\\ 5y+x=7 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$7$$:
   $$14(2y-x)+y+3x=7.$$
   Раскроем скобки:
   $$28y-14x+y+3x=7,$$
   $$29y-11x=7.$$
   Из второго уравнения:
   $$x=7-5y.$$
   Подставим:
   $$29y-11(7-5y)=7,$$
   $$29y-77+55y=7,$$
   $$84y=84,$$
   $$y=1.$$
   Тогда
   $$x=7-5\cdot1=2.$$

   Ответ: $$\left(2;1\right).$$

7. ж)

   $$\begin{cases} \frac{x+3y}{2}=\frac{x-2y}{3}+31,\\ x+y=\frac34(x-y)+27 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$4$$:
   $$\begin{cases} 3(x+3y)-2(x-2y)=186,\\ 4(x+y)-3(x-y)=108 \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} x+13y=186,\\ x+7y=108 \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$6y=78,$$
   $$y=13.$$
   Подставим во второе:
   $$x+7\cdot13=108,$$
   $$x=17.$$

   Ответ: $$\left(17;13\right).$$

8. з)

   $$\begin{cases} \frac{x+y}{2}-\frac{x}{3}=1,\\ \frac{x+y}{2}=3 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$2$$:
   $$\begin{cases} 3(x+y)-2x=6,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Тогда
   $$x+3y=6,$$
   $$x-y=6.$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$4y=0,$$
   $$y=0.$$
   Тогда
   $$x=6.$$

   Ответ: $$\left(6;0\right).$$

9. и)

   $$\begin{cases} \frac{3x-2y}{5}+\frac{5x-3y}{3}=x+1,\\ \frac{2x-3y}{3}+\frac{4x-3y}{2}=y+1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$15$$, второе — на $$6$$:
   $$\begin{cases} 3(3x-2y)+5(5x-3y)=15(x+1),\\ 2(2x-3y)+3(4x-3y)=6(y+1) \end{cases}$$
   После раскрытия скобок:
   $$\begin{cases} 19x-21y=15,\\ 16x-21y=6 \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$3x=9,$$
   $$x=3.$$
   Подставим:
   $$16\cdot3-21y=6,$$
   $$48-21y=6,$$
   $$21y=42,$$
   $$y=2.$$

   Ответ: $$\left(3;2\right).$$

10. к)

    $$\begin{cases} \frac{2x-y+3}{3}-\frac{x-2y+3}{4}=4,\\ \frac{3x-4y+3}{4}+\frac{4x-2y-9}{3}=4 \end{cases}$$
    Умножим первое уравнение на $$12$$, второе — на $$12$$:
    $$\begin{cases} 4(2x-y+3)-3(x-2y+3)=48,\\ 3(3x-4y+3)+4(4x-2y-9)=48 \end{cases}$$
    Получаем:
    $$\begin{cases} 5x+2y=45,\\ 25x-20y=75 \end{cases}$$
    Умножим первое уравнение на $$5$$:
    $$25x+10y=225.$$
    Вычтем из него второе:
    $$30y=150,$$
    $$y=5.$$
    Подставим в $$5x+2y=45$$:
    $$5x+10=45,$$
    $$5x=35,$$
    $$x=7.$$

    Ответ: $$\left(7;5\right).$$