Упр.834 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) система
x+y=13,
y=x-4;
б) система
3x+4y=230,
y=5x;
в) система
13x-14y=27,
13x=2y+15;
г) система
8x-9y=1,
3y=4x+1;
д) система
x-3y=13,
2c+4y=90;
е) система
2x+y=8,
3x+4y=7;
ж) система
x-3y=4,
5x+3y=-1;
з) система
2x+5y=25,
4x+3y=15;
и) система
4x+3y=-4,
6x+5y=1;
к) система
2x-3y=5,
7x+5y=2;
л) система
4x-7y=2,
2x+3y=1;
м) система
4x+4y=1,
3x+3y=-5.

1. а)

   $$ \begin{cases} x+y=13 \\ y=x-4 \end{cases} $$
   Подставим $$y=x-4$$ в первое уравнение:
   $$ x+x-4=13 $$
   $$ 2x=17 $$
   $$ x=\frac{17}{2}=8{,}5 $$
   $$ y=8{,}5-4=4{,}5 $$

   Ответ: $$(8{,}5;\,4{,}5)$$

2. б)

   $$ \begin{cases} 3x+4y=230 \\ y=5x \end{cases} $$
   Подставим $$y=5x$$ в первое уравнение:
   $$ 3x+4\cdot 5x=230 $$
   $$ 23x=230 $$
   $$ x=10 $$
   $$ y=5\cdot 10=50 $$

   Ответ: $$(10;\,50)$$

3. в)

   $$ \begin{cases} 13x-14y=27 \\ 13x=2y+15 \end{cases} $$
   Запишем второе уравнение в виде $$13x-2y=15$$. Тогда вычтем из первого уравнения второе:
   $$ (13x-14y)-(13x-2y)=27-15 $$
   $$ -12y=12 $$
   $$ y=-1 $$
   Подставим в $$13x-2y=15$$:
   $$ 13x-2(-1)=15 $$
   $$ 13x+2=15 $$
   $$ 13x=13 $$
   $$ x=1 $$

   Ответ: $$(1;\,-1)$$

4. г)

   $$ \begin{cases} 8x-9y=1 \\ 3y=4x+1 \end{cases} $$
   Преобразуем второе уравнение:
   $$ 4x-3y=-1 $$
   Умножим его на $$2$$:
   $$ 8x-6y=-2 $$
   Вычтем это уравнение из первого:
   $$ (8x-9y)-(8x-6y)=1-(-2) $$
   $$ -3y=3 $$
   $$ y=-1 $$
   Подставим в $$8x-9y=1$$:
   $$ 8x-9(-1)=1 $$
   $$ 8x+9=1 $$
   $$ 8x=-8 $$
   $$ x=-1 $$

   Ответ: $$(-1;\,-1)$$

5. д)

   $$ \begin{cases} x-3y=13 \\ 2x+4y=90 \end{cases} $$
   Разделим второе уравнение на $$2$$:
   $$ x+2y=45 $$
   Вычтем из второго уравнения первое:
   $$ (x+2y)-(x-3y)=45-13 $$
   $$ 5y=32 $$
   $$ y=\frac{32}{5}=6{,}4 $$
   Подставим в $$x-3y=13$$:
   $$ x=13+3\cdot 6{,}4=32{,}2 $$

   Ответ: $$(32{,}2;\,6{,}4)$$

6. е)

   $$ \begin{cases} 2x+y=8 \\ 3x+4y=7 \end{cases} $$
   Умножим первое уравнение на $$4$$:
   $$ 8x+4y=32 $$
   Вычтем второе уравнение:
   $$ (8x+4y)-(3x+4y)=32-7 $$
   $$ 5x=25 $$
   $$ x=5 $$
   Подставим в $$2x+y=8$$:
   $$ 2\cdot 5+y=8 $$
   $$ y=-2 $$

   Ответ: $$(5;\,-2)$$

7. ж)

   $$ \begin{cases} x-3y=4 \\ 5x+3y=-1 \end{cases} $$
   Сложим уравнения:
   $$ 6x=3 $$
   $$ x=\frac12 $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ \frac12-3y=4 $$
   $$ -3y=\frac72 $$
   $$ y=-\frac76 $$

   Ответ: $$\left(\frac12;\,-\frac76\right)$$

8. з)

   $$ \begin{cases} 2x+5y=25 \\ 4x+3y=15 \end{cases} $$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$ 4x+10y=50 $$
   Вычтем второе уравнение:
   $$ (4x+10y)-(4x+3y)=50-15 $$
   $$ 7y=35 $$
   $$ y=5 $$
   Подставим в $$2x+5y=25$$:
   $$ 2x+25=25 $$
   $$ x=0 $$

   Ответ: $$(0;\,5)$$

9. и)

   $$ \begin{cases} 4x+3y=-4 \\ 6x+5y=1 \end{cases} $$
   Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе на $$3$$:
   $$ 20x+15y=-20 $$
   $$ 18x+15y=3 $$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$ 2x=-23 $$
   $$ x=-\frac{23}{2}=-11{,}5 $$
   Подставим в $$4x+3y=-4$$:
   $$ 4(-11{,}5)+3y=-4 $$
   $$ -46+3y=-4 $$
   $$ 3y=42 $$
   $$ y=14 $$

   Ответ: $$(-11{,}5;\,14)$$

10. к)

    $$ \begin{cases} 2x-3y=5 \\ 7x+5y=2 \end{cases} $$
    Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$3$$:
    $$ 10x-15y=25 $$
    $$ 21x+15y=6 $$
    Сложим уравнения:
    $$ 31x=31 $$
    $$ x=1 $$
    Подставим в $$2x-3y=5$$:
    $$ 2-3y=5 $$
    $$ -3y=3 $$
    $$ y=-1 $$

    Ответ: $$(1;\,-1)$$

11. л)

    $$ \begin{cases} 4x-7y=2 \\ 2x+3y=1 \end{cases} $$
    Умножим второе уравнение на $$2$$:
    $$ 4x+6y=2 $$
    Вычтем первое уравнение:
    $$ (4x+6y)-(4x-7y)=2-2 $$
    $$ 13y=0 $$
    $$ y=0 $$
    Подставим в $$4x-7y=2$$:
    $$ 4x=2 $$
    $$ x=\frac12=0{,}5 $$

    Ответ: $$(0{,}5;\,0)$$

12. м)

    $$ \begin{cases} 4x+4y=1 \\ 3x+3y=-5 \end{cases} $$
    Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$4$$:
    $$ 12x+12y=3 $$
    $$ 12x+12y=-20 $$
    Получили противоречие, значит система решений не имеет.

    Ответ: решений нет