Упр.831 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 831

1. а)

   $$\frac{x}{x-2}-\frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}, \qquad x\ne \pm 2$$

   $$\frac{x}{x-2}-\frac{7}{x+2}-\frac{8}{(x-2)(x+2)}=0$$

   $$x(x+2)-7(x-2)-8=0$$

   $$x^2+2x-7x+14-8=0$$

   $$x^2-5x+6=0$$

   $$D=25-24=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$

   $$x_1=2 \text{ — не подходит}, \qquad x_2=3$$

2. б)

   $$\frac{1}{x-4}+\frac{24}{x^2-16}=\frac{x+1}{x+4}, \qquad x\ne \pm 4$$

   $$\frac{1}{x-4}+\frac{24}{(x-4)(x+4)}-\frac{x+1}{x+4}=0$$

   $$(x+4)+24-(x+1)(x-4)=0$$

   $$x+28-x^2+3x+4=0$$

   $$x^2-4x-32=0$$

   $$D=16+128=144$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}$$

   $$x_1=-4 \text{ — не подходит}, \qquad x_2=8$$

3. в)

   $$\frac{3}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{3x+1}{x^2-1}, \qquad x\ne \pm 1$$

   $$\frac{3}{x+1}+\frac{2x}{x-1}-\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}=0$$

   $$3(x-1)+2x(x+1)-(3x+1)=0$$

   $$3x-3+2x^2+2x-3x-1=0$$

   $$2x^2+2x-4=0$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

   $$x_1=-2, \qquad x_2=1 \text{ — не подходит}$$

4. г)

   $$\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x+3}+\frac{18}{x^2-9}=0, \qquad x\ne \pm 3$$

   $$\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x+3}+\frac{18}{(x-3)(x+3)}=0$$

   $$(x+3)-x(x-3)+18=0$$

   $$x+3-x^2+3x+18=0$$

   $$x^2-4x-21=0$$

   $$D=16+84=100$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}$$

   $$x_1=-3 \text{ — не подходит}, \qquad x_2=7$$

5. д)

   $$\frac{3}{x^2-2x+1}-\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}, \qquad x\ne \pm 1$$

   $$\frac{3}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x+1}=0$$

   $$3(x+1)-(x-1)-(x-1)^2=0$$

   $$3x+3-x+1-x^2+2x-1=0$$

   $$x^2-4x-3=0$$

   $$D=16+12=28$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{2}=2\pm \sqrt{7}$$

6. е)

   $$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{1-x^2}=\frac{5}{x^2+2x+1}, \qquad x\ne \pm 1$$

   $$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\frac{5}{(x+1)^2}=0$$

   $$(x+1)^2-2(x+1)-5(x-1)=0$$

   $$x^2+2x+1-2x-2-5x+5=0$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$x_1=1 \text{ — не подходит}, \qquad x_2=4$$

7. ж)

   $$\frac{1}{x+3}-\frac{6}{9-x^2}=\frac{3}{x^2-6x+9}, \qquad x\ne \pm 3$$

   $$\frac{1}{x+3}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}-\frac{3}{(x-3)^2}=0$$

   $$(x-3)^2+6(x-3)-3(x+3)=0$$

   $$x^2-6x+9+6x-18-3x-9=0$$

   $$x^2-3x-18=0$$

   $$D=9+72=81$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2}$$

   $$x_1=-3 \text{ — не подходит}, \qquad x_2=6$$

8. з)

   $$\frac{4}{x^2+6x+9}-\frac{1}{x-3}=\frac{6}{9-x^2}, \qquad x\ne \pm 3$$

   $$\frac{4}{(x+3)^2}-\frac{1}{x-3}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}=0$$

   $$4(x-3)-(x+3)^2+6(x+3)=0$$

   $$4x-12-x^2-6x-9+6x+18=0$$

   $$x^2-4x-3=0$$

   $$D=16+12=28$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{2}=2\pm \sqrt{7}$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=8$$; в) $$x=-2$$; г) $$x=7$$; д) $$x=2\pm \sqrt{7}$$; е) $$x=4$$; ж) $$x=6$$; з) $$x=1$$.