Упр.828 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) x + 10 = 7 корень x;
в) x + корень x=30;
г) x-3 корень x=28;
д) x9-2×5+x=0;
е) x9+4×5+4x=0.

Подробный ответ

а) $$x-6\sqrt{x}=-5$$
Сделаем замену: $$\sqrt{x}=y,\quad x=y^2.$$ Тогда
$$y^2-6y+5=0$$
$$D=36-20=16,\quad y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=5$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1$$
$$\sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$$
б) $$x+10=7\sqrt{x}$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,\quad x=y^2.$$ Тогда
$$y^2-7y+10=0$$
$$D=49-40=9,\quad y_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$
$$y_1=2,\quad y_2=5$$
Тогда
$$\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4$$
$$\sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$$
в) $$x+\sqrt{x}=30$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,\quad x=y^2.$$ Тогда
$$y^2+y-30=0$$
$$D=1+120=121,\quad y_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{2}$$
$$y_1=-6,\quad y_2=5$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, значение $$y=-6$$ не подходит. Остаётся
$$\sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$$
г) $$x-3\sqrt{x}=28$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,\quad x=y^2.$$ Тогда
$$y^2-3y-28=0$$
$$D=9+112=121,\quad y_{1,2}=\frac{3\pm 11}{2}$$
$$y_1=-4,\quad y_2=7$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, значение $$y=-4$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x}=7 \Rightarrow x=49$$
д) $$x^9-2x^5+x=0$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(x^8-2x^4+1)=0$$
Отсюда либо $$x=0$$, либо
$$x^8-2x^4+1=0$$
Сделаем замену: $$x^4=y.$$ Тогда
$$y^2-2y+1=0$$
$$ (y-1)^2=0,\quad y=1$$
Значит,
$$x^4=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
е) $$x^9+4x^5+4x=0$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(x^8+4x^4+4)=0$$
Отсюда либо $$x=0$$, либо
$$x^8+4x^4+4=0$$
Пусть $$x^4=y.$$ Тогда
$$y^2+4y+4=0$$
$$ (y+2)^2=0,\quad y=-2$$
Но $$x^4=-2$$ не имеет действительных решений. Значит, остаётся только
$$x=0$$