Упр.827 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
б) (х3 — 5х2)(х2 — 3х + 1) = 0;
в) 3х3 — 3х(х — 1) = 7х2;
г) (14х3 + 19х2 + 12х)(2х2 — 7х + 6) = 0;
д) (х — 2)2 — 10 (х — 2) + 21 = 0;
е) (а + 1)2 — 9(а + 1) — 20;
ж) (2m — 1)2 + 4(2m — 1) + 3 = 0;
з) (3n + 2)2 = 15 — 2(3n + 2);
и) (x+1/x)2 — 4*1/2(x+1/x)+5=0;
к) x2+1/x2-1/2(x+1/x)-3=0.
а)
$$x^3-2x(x+1)=x$$
$$x^3-2x^2-2x-x=0$$
$$x^3-2x^2-3x=0$$
$$x(x^2-2x-3)=0$$
$$x=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
Ответ: $$x=-1,\ 0,\ 3$$.
б)
$$\left(x^3-5x^2\right)\left(x^2-3x+1\right)=0$$
$$x^2(x-5)\left(x^2-3x+1\right)=0$$
$$x=0,\quad x=5$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt5}{2}$$
Ответ: $$x=0,\ 5,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}$$.
в)
$$3x^3-3x(x-1)=7x^2$$
$$3x^3-3x^2+3x-7x^2=0$$
$$3x^3-10x^2+3x=0$$
$$x(3x^2-10x+3)=0$$
$$x=0$$
$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=3$$
Ответ: $$x=0,\ \frac13,\ 3$$.
г)
$$\left(14x^3+19x^2+12x\right)\left(2x^2-7x+6\right)=0$$
$$x\left(14x^2+19x+12\right)\left(2x^2-7x+6\right)=0$$
$$x=0$$
$$14x^2+19x+12=0$$
$$D=19^2-4\cdot 14\cdot 12=361-672<0$$
Корней нет.
$$2x^2-7x+6=0$$
$$D=49-48=1$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4}$$
$$x_1=\frac32,\quad x_2=2$$
Ответ: $$x=0,\ \frac32,\ 2$$.
д)
$$\left(x-2\right)^2-10\left(x-2\right)+21=0$$
Пусть $$y=x-2$$. Тогда
$$y^2-10y+21=0$$
$$D=100-84=16$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}$$
$$y_1=3,\quad y_2=7$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x-2=3 \Rightarrow x=5$$
$$x-2=7 \Rightarrow x=9$$
Ответ: $$x=5,\ 9$$.
е)
$$\left(a+1\right)^2-9\left(a+1\right)-20=0$$
Пусть $$y=a+1$$. Тогда
$$y^2-9y-20=0$$
$$D=81+80=161$$
$$y_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{161}}{2}$$
Следовательно,
$$a=\frac{7\pm \sqrt{161}}{2}$$
Ответ: $$a=\frac{7-\sqrt{161}}{2},\ \frac{7+\sqrt{161}}{2}$$.
ж)
$$\left(2m-1\right)^2+4\left(2m-1\right)+3=0$$
Пусть $$y=2m-1$$. Тогда
$$y^2+4y+3=0$$
$$\left(y+1\right)\left(y+3\right)=0$$
$$y=-1,\quad y=-3$$
Возвращаемся к переменной $$m$$:
$$2m-1=-1 \Rightarrow m=0$$
$$2m-1=-3 \Rightarrow m=-1$$
Ответ: $$m=-1,\ 0$$.
з)
$$\left(3n+2\right)^2=15-2\left(3n+2\right)$$
Пусть $$y=3n+2$$. Тогда
$$y^2+2y-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$y_1=-5,\quad y_2=3$$
Возвращаемся к переменной $$n$$:
$$3n+2=-5 \Rightarrow n=-\frac73$$
$$3n+2=3 \Rightarrow n=\frac13$$
Ответ: $$n=-\frac73,\ \frac13$$.
и)
$$\left(x+\frac1x\right)^2-4\cdot \frac12\left(x+\frac1x\right)+5=0,\quad x\ne 0$$
Пусть $$y=x+\frac1x$$. Тогда
$$y^2-2y+5=0$$
$$D=4-20<0$$
Действительных решений нет.
Ответ: решений нет.
к)
$$x^2+\frac1{x^2}-\frac12\left(x+\frac1x\right)-3=0,\quad x\ne 0$$
Так как
$$x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2,$$
получаем
$$\left(x+\frac1x\right)^2-2-\frac12\left(x+\frac1x\right)-3=0$$
Пусть $$y=x+\frac1x$$. Тогда
$$y^2-\frac12y-5=0$$
$$2y^2-y-10=0$$
$$D=1+80=81$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{4}$$
$$y_1=-2,\quad y_2=\frac52$$
1) $$x+\frac1x=-2 \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
2) $$x+\frac1x=\frac52 \Rightarrow 2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=2$$
Ответ: $$x=-1,\ \frac12,\ 2$$.
Ответ
а) $$x=-1,\ 0,\ 3$$; б) $$x=0,\ 5,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}$$; в) $$x=0,\ \frac13,\ 3$$; г) $$x=0,\ \frac32,\ 2$$; д) $$x=5,\ 9$$; е) $$a=\frac{7-\sqrt{161}}{2},\ \frac{7+\sqrt{161}}{2}$$; ж) $$m=-1,\ 0$$; з) $$n=-\frac73,\ \frac13$$; и) решений нет; к) $$x=-1,\ \frac12,\ 2$$.
