Упр.825 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
б) (х2 — 10) (х2 — 3) = 78;
в) (х2 + 1) (х2 — 3) = 15;
г) (у2 — 3)2 = 2(15 — у2);
д) (х2 — 1)2 — 12 = 3 — х2;
е) (х2 — 2)2 — 2 (х2 + 5) = 4.
а) $$\left(x^2-5\right)^2+\left(x^2-1\right)=40$$
$$x^4-10x^2+25+x^2-1-40=0$$
$$x^4-9x^2-16=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-9y-16=0$$
$$D=81+64=145$$
$$y_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{145}}{2}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то подходит только
$$x^2=\frac{9+\sqrt{145}}{2}$$
Следовательно,
$$x=\pm\sqrt{\frac{9+\sqrt{145}}{2}}$$
б) $$\left(x^2-10\right)\left(x^2-3\right)=78$$
$$x^4-3x^2-10x^2+30-78=0$$
$$x^4-13x^2-48=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-13y-48=0$$
$$D=169+192=361$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm19}{2}$$
$$y_1=-3,\quad y_2=16$$
Подходит только $$x^2=16$$, значит
$$x=\pm4$$
в) $$\left(x^2+1\right)\left(x^2-3\right)=15$$
$$x^4-3x^2+x^2-3-15=0$$
$$x^4-2x^2-18=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-2y-18=0$$
$$D=4+72=76$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{76}}{2}=1\pm\sqrt{19}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то
$$x^2=1+\sqrt{19}$$
Следовательно,
$$x=\pm\sqrt{1+\sqrt{19}}$$
г) $$\left(y^2-3\right)^2=2\left(15-y^2\right)$$
$$y^4-6y^2+9=30-2y^2$$
$$y^4-4y^2-21=0$$
Положим $$y^2=x$$. Тогда
$$x^2-4x-21=0$$
$$D=16+84=100$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm10}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=7$$
Подходит только $$y^2=7$$, значит
$$y=\pm\sqrt7$$
д) $$\left(x^2-1\right)^2-12=3-x^2$$
$$x^4-2x^2+1-12-3+x^2=0$$
$$x^4-x^2-14=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-y-14=0$$
$$D=1+56=57$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{57}}{2}$$
Подходит только
$$x^2=\frac{1+\sqrt{57}}{2}$$
Следовательно,
$$x=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{57}}{2}}$$
е) $$\left(x^2-2\right)^2-2\left(x^2+5\right)=4$$
$$x^4-4x^2+4-2x^2-10-4=0$$
$$x^4-6x^2-10=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-6y-10=0$$
$$D=36+40=76$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{76}}{2}=3\pm\sqrt{19}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то
$$x^2=3+\sqrt{19}$$
Следовательно,
$$x=\pm\sqrt{3+\sqrt{19}}$$
Ответ
а) $$x=\pm\sqrt{\frac{9+\sqrt{145}}{2}}$$; б) $$x=\pm4$$; в) $$x=\pm\sqrt{1+\sqrt{19}}$$; г) $$y=\pm\sqrt7$$; д) $$x=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{57}}{2}}$$; е) $$x=\pm\sqrt{3+\sqrt{19}}$$.
