Упр.824 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) x4-x2-6=0;
в) х3 + 4х2 + 4х + 1 = 0;
г) х3 + 4 = 3×2;
д) 2х3 — 3х2 + 3х = 2;
е) х4 — 2х3 + х = 132.

Подробный ответ

а) Сделаем замену $$x^2=y$$. Тогда получаем:
$$y^2+2y-3=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$y_1=-3,\quad y_2=1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^2=-3$$
действительных корней нет, а из $$x^2=1$$ получаем
$$x=\pm 1$$
б) Сделаем замену $$x^2=y$$. Тогда:
$$y^2-y-6=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$y_1=-2,\quad y_2=3$$
Тогда
$$x^2=-2$$
действительных корней нет, а из $$x^2=3$$ получаем
$$x=\pm \sqrt{3}$$
в) Группируем слагаемые:
$$x^3+4x^2+4x+1=0$$
$$x^3+1+4x(x+1)=0$$
$$ (x+1)(x^2-x+1)+4x(x+1)=0$$
$$ (x+1)(x^2+3x+1)=0$$
Отсюда
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x+1=0$$
$$x=-1$$
Для квадратного уравнения:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$$
г) Перенесём всё в левую часть:
$$x^3+4-3x^2=0$$
$$x^3-3x^2+4=0$$
Разложим на множители:
$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2$$
Тогда
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad x-2=0$$
$$x=-1,\quad x=2$$
д) Перенесём 2 в левую часть:
$$2x^3-3x^2+3x-2=0$$
Сгруппируем:
$$2(x^3-1)-3x(x-1)=0$$
$$2(x-1)(x^2+x+1)-3x(x-1)=0$$
$$ (x-1)(2x^2-x+2)=0$$
Отсюда
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-x+2=0$$
У квадратного уравнения
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15<0$$
действительных корней нет. Значит,
$$x=1$$
е) Перенесём 132 в левую часть:
$$x^4-2x^3+x-132=0$$
Разложим на множители:
$$x^4-2x^3+x-132=(x-4)(x+3)(x^2-x+11)$$
Тогда
$$x-4=0 \quad \text{или} \quad x+3=0 \quad \text{или} \quad x^2-x+11=0$$
Из последнего уравнения:
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 11=1-44=-43<0$$
действительных корней нет. Поэтому
$$x=4,\quad x=-3$$